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數（shù）控磨床主軸係統的可靠性建模與評估研究

2021-2-1 來源：北京工業大學機械工程與應用電子技術學院（yuàn）等作者：範晉偉，薛良良，劉強，李偉華

摘要: 對北京第二（èr）機床廠某係列數控磨床主軸係統的故障數（shù）據進行處理，繪製主（zhǔ）軸係統的（de）概率密度函數散點圖，初步假定函數模型，再利用最小二乘法（fǎ）估計未知參數，利用（yòng）卡方檢驗（yàn）和相關係數法進行擬合（hé）優度（dù）檢驗，最（zuì）終確定主（zhǔ）軸係統的分布類型為指數分布。根據所屬分布類（lèi）型計算主軸係統的平均故障間隔時間 MTBF，平均維修時間 MTTＲ，以及固有可用度 A，對主軸係統的（de）可靠性進行評估（gū）。所得結果已反（fǎn）饋到生（shēng）產廠家並獲得認（rèn）可，對數控磨床整（zhěng）機可靠性的提升有重要意（yì）義。

關鍵詞: 主軸（zhóu）係統; 可靠性建模; 數據擬合; 可靠性評估

主軸係統（tǒng）是數控磨床的關鍵組成（chéng）係統，其可靠性的高低直接影響產品加工的質量和效率。如何提高主軸對整機的可靠性是急需解決的問題。目前國內外學者對主軸（zhóu）係統可靠性的研究主要（yào）分為以下（xià） 5 個方麵:( 1) 故障（zhàng）樹分析 ( FTA) 。羅靜等結合層次分析法( AHP) 對主軸建立了故障遞階層次模型（xíng），確定了（le）影響主軸係統的關（guān）鍵故障因素，提高了主軸係統可靠性; 張英芝等運用模糊故障樹理論，對數控車床（chuáng）主軸係統進行了故障樹定量分（fèn）析。( 2) 故障模式影響及危（wēi）害性分析( FMECA) 。王德超等（děng）對 161 台加工中心主軸進行了 FMECA 分析，采用模糊評判法（fǎ）計算（suàn）了危害度，並擬合模型計算了首次（cì）故障（zhàng）間隔時間; 王廣勇等對數控銑床主軸係統進（jìn）行了 FMECA 分析，並對故障原因提出了改進措施。( 3) 熱特性分析。佟威等借助（zhù）於 ANSYS 的 Workbench 平（píng）台，研（yán）究了（le）主軸（zhóu）溫度（dù）場、應力和變（biàn）形（xíng）分布（bù）規律; 樓（lóu）婷婷等對立式加工中心主軸可靠性虛擬樣機建模理論（lùn）進（jìn）行（háng）了深（shēn）入研究，完成可靠性虛擬樣機的建立，並分析了熱特性對其可靠性的影響; Ali Zahedi 等提出了一（yī）個包括其主要部件的機械和熱行為的高速主軸可行模型。( 4) 振動分析。張義民等利用一次（cì）二階矩法計算了（le）主軸係統在特定轉速下的可靠度; 張愛華等運用 ANSYS 軟件中參數化設計語（yǔ）言與蒙特卡羅法相結合（hé）的隨機有限元法研究了（le）高速電主軸抗共振的可靠性，並通過 PDS模塊計算出了高速電主軸（zhóu）抗共振的可靠度; JiangDayong 等通過對主軸振動特性的提取（qǔ），提出了一種（zhǒng）利用比例風險模型將振動特征等低層信息與可靠性指標等高層信息連接起來的新方法。( 5) 主軸軸承（chéng）可靠性分析。沈延軍等基於（yú）多狀態理論對軸承進行（háng）可靠（kào）度分析，運用通用生成函數（shù）法得到軸承可靠度。Young－Kug Hwang 等研究了軸承的預緊力對主軸運行的影響（xiǎng），詳（xiáng）細（xì）介紹了預加載技術（shù）並運用到了主軸係統上;Vincent Gagnol 等（děng）提出了一種基於有限元模型（xíng）分析和（hé）實驗模態識別（bié）相結合的高速主軸軸承係統（tǒng）建模方法。

表1：主軸係統故障記錄表

通過查閱相（xiàng）關文獻發現，當前的研究側重於熱態特性、軸承以及動態性能模塊，對於主軸係統建立故障時間模型的研究相對較少，模（mó）型建立（lì）的過程也相對（duì）簡單，沒有對故障數據進行細化（huà）處理。因此本文將從數控磨床主軸係統的故障數（shù）據采集，故障數據處理（lǐ），可靠性模型建立（lì），模型參數估計、假設檢驗、模型優選以及可靠性評估等（děng）方（fāng）麵對主（zhǔ）軸（zhóu）係統進行全麵的分析和研究，最終確定磨床主軸係統的數學模型，算（suàn）出平（píng）均故障（zhàng）間隔時間，為廠家提高數控磨床整機的可靠性提供技（jì）術支持。

1、可靠性建模

根據《數控機床可靠性評定》總則，采取定（dìng）時結尾試驗的方法現場跟蹤磨床的運行情（qíng）況。在采集故障（zhàng）數（shù）據時，嚴格遵循總則中故障的 4 條判定原（yuán）則和 3條故障計數原則，正確記錄（lù）故障發（fā）生時（shí）間、故障部位，故（gù）障現象，采取措施和維修時間。本文的可靠性數據均來自北京第二機床廠同（tóng）一型號磨床現場試驗數據以及廠家用戶故障反饋信息。其中記錄關於主軸係統的故障數據（jù）為 62 條。表1為部分故障數據。

從故障記錄表中簡單分（fèn）析可以得出，主軸係統故障主（zhǔ）要包括主軸軸承和電機軸承的損壞，皮帶斷裂，皮帶磨損和打滑，占總故障的 60%左右，皮帶和（hé）軸承是主軸係統（tǒng）故障的主（zhǔ）要原因（yīn）。由於主軸是磨床廠家（jiā）生（shēng）產製造，為此在設計製造時應作出改進。下麵對其故障間隔時間模型做詳細分（fèn）析。

2.1、故障（zhàng）數據處理及散點圖繪（huì）製

將可靠性數據按時間進行分組，分組數量太大或太小，都會（huì）使得（dé）每個區間的故障數量極端化，增加擬合誤差。組數 K 的（de）大小通常按（àn）經（jīng）驗公式來（lái）確定，如式( 1) 所示:

式中: nf為係統的故障數據總數; K 為分（fèn）組的數量，經計算取整為 7。

求出每個（gè）區間的故障數量（liàng）以後（hòu），用式( 2) 可以求出每個（gè）區間內故障概（gài）率密度（dù）的觀測值（zhí），如表2所示。

表2：故障間隔時間分組表

式中: ti為每組故障數據區間中值; n 為故障總數; ni為每組故障（zhàng）頻數（shù），Δti為區間長度。

表3：故障概率密度和累積概率表

由表3可得到主軸係統（tǒng）的概率（lǜ）密度散點圖，如圖1 所（suǒ）示，從圖中可以看出，該係列數控磨床主軸係統的故障概率密（mì）度呈單調（diào）遞減的趨勢，可以（yǐ）近似認（rèn）為符合指數（shù）分布和威布爾分布模型。

圖1：概率（lǜ）密度函數散點圖

2.2、參數估計

在初步確定了故（gù）障分布類型以後，需要對故障（zhàng）概率密度函數進行參數估計。最小二乘（chéng）法因為簡單易行是常用的（de）方法之一（yī）。下麵對指數分布和威布爾分布分別用最小二乘法進行參數估計。

( 1) 指數（shù）分布模型

指數分布的概率密度函（hán）數和累積分布函數分別為:

式中: λ 是失效率，為未知參數。

將( 4) 式取對數變換，得到:

令 y =

則可以得到（dào）y =ax，

是滿足線性關係的。最小二乘法公式為 y =ax+b，其參數（shù）估計量為：

式中:

代入表（biǎo） 2 故障數據進行（háng）整理，計算可得:

a = －0．00145

因（yīn）此指數分布線性表達式為:

y = －0．00145x

繪製( x，y) 散點圖，擬合一元線性（xìng）函數，如圖（tú） 2 所示。經（jīng）初步判斷，主軸係統（tǒng）故障間隔（gé）時間指數分布模型（xíng）有效合理（lǐ）。

若故障間（jiān）隔時間數據符合指數（shù）分布，則由上述分析可得到指數分（fèn）布的參數 λ = 0．001 45，累積分（fèn）布函（hán）數（shù）為

。

圖2：指數分布擬合圖（tú）

( 2) 威布爾分布模型

二（èr）參（cān）數威布爾分（fèn）布的累計分布函（hán）數（shù）為式( 9) 所示，有 η 和 β 兩個未知參數。為方便進（jìn）行一元線（xiàn）性回歸，將式( 9) 進行兩次對數變換，結果為式( 10) 。

令 y =

，x = lnt ，若故障（zhàng）間隔時間符合威布爾分布，則 y 和 x 滿足（zú）線性（xìng）關係 y = βx －βlnη。通過最小二乘法參數（shù）計算公式( 6) 和( 7) ，即可求得回歸方程 y = ax + b 中的回歸係數 a 和 b，進（jìn）而確定未知參數與回歸係數的關係如下（xià）所示:

將表 3 故（gù）障間隔時間數據代入計算得 a = 0．696，b= －4．155。因此威布（bù）爾分（fèn）布線性表達式為:

y = 0．696x － 4．155

繪製( x，y) 散點（diǎn）圖，同時（shí）擬合一元線性函數，如下圖 3 所示（shì）。經初步判斷，主軸係統故障間隔時間符合威（wēi）布爾分布模型。

若故障間隔（gé）時間（jiān）數據（jù）符合威布爾分布，則由上述分析可得到威布爾分布的參數為 β = 0．696，η = 391．7。累積分布函數為 F( t) =

。

2.3、擬合檢驗

由（yóu）上圖 2、圖 3 可以看出指（zhǐ）數分布和威布爾分布都近（jìn）似符合（hé）磨（mó）床主軸（zhóu）係統的故障時間模（mó）型，但是很難（nán）得（dé）出概率（lǜ）密度觀測值與擬合曲線之間是否真的具有關聯性（xìng），或關（guān）聯度大小，因此需（xū）要對上兩種模型假設進行擬合檢驗。

此次檢驗（yàn）采用 χ2檢驗（yàn），原理是將檢驗統（tǒng）計量 χ2的觀測值與臨界值進行比較，計算理論頻數與實際頻數之間的差異（yì），如果滿足式( 14) 的條件，則接受原定假設，否則拒（jù）絕原假設。

圖3：威布爾分布擬合圖

式中（zhōng）: n 為（wéi）樣本數量 62; k 為（wéi）分組數量（liàng） 7; vi為第 i 分組的（de）實際頻（pín）數; npi為理論頻數（shù）; m 為未知參數，α 為顯著性水平。

( 1) 指（zhǐ）數分布模型檢驗

由參數估計可得指數分布的（de）概率密度函數為式( 15) 所示，概率密度函數擬合圖為圖 4 所示:

圖4：指數分布概率密度擬（nǐ）合（hé）圖

由式 ( 14) 計算出指數分布時的χ2值為: χ2e=1．366，在顯著水平 α = 0．05 時，查卡方（fāng）檢驗臨界值表，在 5 個自由（yóu）度下的

= 11．071。由於

＜

，所以假設成立，主軸係統故障間隔時間函數符合指數分布。

( 2) 威布爾分布模型檢驗

由參數（shù）估計可得威布爾分布的概率密度函數所（suǒ）式( 16) 所（suǒ）示，概率密度函數（shù）擬合圖（tú）為圖 5 所示（shì）:

由式( 14) 計算出威（wēi）布爾分布時的 χ2值為: χ2w=8．498，在顯著水平 α = 0．05 時，查卡方（fāng）檢驗臨界值表，在 4 個自由度下的

= 9．488。由於（yú）

＜

，所以假設成立，主軸係統故障間隔時間函數符合威布爾分布。

圖5：威布爾分布概率密度擬合圖

2.4、模型優選

通過擬合檢驗，發現（xiàn）指數分布和威布爾（ěr）分布均（jun1）符合主軸係統的故（gù）障間隔時間模型，從概率密度擬合圖中大（dà）致可（kě）以看（kàn）出指數分布模型擬合效果（guǒ）更佳，卡方檢（jiǎn）驗中指數分布每（měi）組的理論頻數與實際頻數也較為接近。為（wéi）了準確比較擬合優度，確定最優模型（xíng），還需進行線性相（xiàng）關性檢驗。

相關係數法常用於線性回歸檢驗是此次模型優選的方法，用線性相關係（xì）數Ｒ來表示（shì），如式( 17) 所示，Ｒ值越大，表示函數擬合效果越好，線（xiàn）性度也越高。

式中: xi為第 i 個樣本數據觀測值，x－是樣本數據均值，yi是擬（nǐ）合模型第 i 個值，y－是擬合（hé）模型均值。

經計算指數分布的線性相關係數Ｒe和威布爾分布的（de）線性相關係數Ｒw分別為：

圖（tú）6：主軸係統故障間隔時間累積分布（bù）擬合圖

指數分布、威布爾分布（bù）擬合效果圖如圖 6 所示，且由計算結果可以看出，Ｒe＞Ｒw，指數分布函數擬合效（xiào）果更優（yōu）。

3、可靠性評估

通過上述模（mó）型分析，主軸係統故障間隔時（shí）間服從指數分布，為了從時（shí）間值的角度描述其可靠性，本文采用平均（jun1）故障間隔時間 MTBF，平均修複（fù）時間 MTTＲ，以及固有可用度

來評（píng）估。

( 1) 平均故（gù）障間隔時（shí）間

平均故（gù）障間隔時間( MTBF) 是（shì）指（zhǐ）產品一次故障到下一次（cì）故（gù）障的平（píng）均工作（zuò）時間，是常用的可靠性評價指標。式子如下（xià）所示，f( t) 為概率密度函數。

指數分布的概率密度函數為式( 15) ，代入求（qiú）得主軸係統的平均故障間隔時間為:

( 2) 平（píng）均修複時（shí）間

平均修複時間( MTTＲ) 是產品從發現故障到維修完成、恢複生產所（suǒ）用的（de）時間的平均值。平均修複時間與故障次（cì）數和每次故障維修所發生的時間有關，計算（suàn）公式如下:

式中: N 為產品總數; ni為第 i 個產品的維修（xiū）次數; ij為第 i 個產品第 j 次維修所用的時間。

根據得到的（de）故障數據分析（xī），主軸（zhóu）係統的平均維修時間（jiān）為 MTTＲ = 1．688 h。

( 3) 固有可用度

產品的固有可用度是產品能（néng）正（zhèng）常（cháng）工作的時間與服務（wù）時間的比值，即在規定條件下，

產品保持其功能的概率，計算公式如下:

4、結語

通過對機床廠采集的（de）故障數據進行處理分析，對數控磨床（chuáng）主軸係統（tǒng）進行了可靠性建模和評估。首先對數據進行了分組處理，散點圖的繪製，初步假（jiǎ）定了主（zhǔ）軸係統的（de）故（gù）障（zhàng）模型符（fú）合指（zhǐ）數分布和威布爾分布。然後分別對其進行了參數估（gū）計、擬合檢驗、模型優選，最終確定了主軸係（xì）統符合指數分布。利用指數分布的函數表達（dá）式求出了主軸係統的平均（jun1）故障間隔（gé）時間（jiān）MTBF=691．085 h，平均維修時間 MTTＲ = 1．688 h 和固有可用度A= 0．998。以上擬合的模（mó）型和計（jì）算結果及時反饋給了廠家，並得到了廠家的認可。這（zhè）為數控磨床其他子係統可靠性建模和評估提供了參考，對整機可（kě）靠性（xìng）分析（xī）有重要意義（yì）。

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