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基於全微分（fèn）模型的打磨機（jī）械臂靜（jìng）態（tài）誤差（chà）分析

2017-1-3 來源（yuán）：東北大學機械工程及自動化學院作者：張秀珩柳洪（hóng）義巴鵬

摘要： 針（zhēn）對打磨機械臂係（xì）統（tǒng）的精度設計問題的解決，基於ＤＨ模（mó）型建（jiàn）立了機械（xiè）臂（bì）的運動學參數模型，並基於全微分（fèn）法建（jiàn）立了運（yùn）動（dòng）學參數誤差與末端誤（wù）差的數學關係。對（duì）機械臂可能（néng）出現的誤差源進行分析，歸納誤差（chà）源的（de）類型，代入誤差模型分別進行仿真，並對結（jié）構誤差與傳動誤差對機械臂末端位置（zhì）的影響進行比較。結果（guǒ）表明：傳動誤差對Ｘ、Ｙ向的（de）位置影響較大，而結構誤差對Ｚ軸的影響較大，這些信息可用（yòng）於對實際機械臂參數誤差的回歸分析，為在機械臂設計及製造階段、機械臂的（de）製造及裝配誤差預計（jì）及優化提供數據參考。

關（guān）鍵詞： 打磨機械臂；全微分；靜態誤差；誤差分析

0.前言

大多數的工業用機械臂，其末端（duān）執行器（qì）的位（wèi）姿精度是衡量其工作性能的（de）重要指標。對機械臂進（jìn）行運動學標定是目前提高機械臂（bì）靜態精度最有（yǒu）效的方法，最普遍的做法是首先建（jiàn）立機械臂的正運動學模型，既而建立相關的位姿誤差模型（xíng），通過識別機（jī）械臂末端位（wèi）姿與各運動（dòng）學參數之間的關係來實現誤差（chà）優化，從而（ér）達到提高位姿精度的目的。在實際應用（yòng）中，該方法可大幅提高機械臂的靜態精度，但由於各（gè）種機械臂在結構（gòu）和功能上的差別，其各單（dān）項原始輸入誤差對末端位姿誤差的影響必然不同［１］，所以對影響位姿誤差的誤差源的分析及在設計階段對機械結構的改進也尤為重要。

影響機械臂靜態誤（wù）差的因（yīn）素主要有幾何誤差（靜態誤（wù）差）、因動態載荷及機體振動引起（qǐ）的動態誤（wù）差（chà）、因溫度影響引起的誤差（chà）及環境、控製係（xì）統（tǒng）和算法誤（wù）差（chà）［２］。ＩＭＯＴＯＪ等［３］研究了幾何誤差、溫度變化等因素對機械臂定位精度的影響。ＳＡＮＴＯＬＡＲＩＡＪ等［４］為優化機械臂運動學（xué）標定條件，基於輸出姿勢誤差和測量誤差的（de）線性關係，給（gěi）出一種在標定（dìng）後用於估計輸出姿態誤差和誤差評價（jià）指標的方法。ＺＨＵＡＮＧＨ等［５］基於ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法，提出在機械臂標定過程中采（cǎi）用圓點分析法評估標定標定結果（guǒ）的不確定性。在機械臂標定（dìng）方法（fǎ）的研究（jiū）發展了多種（zhǒng）測量方法，如（rú）ＨＯＬＬＥＲＢＡＣＨＪＭ等［６］通過（guò）在機械臂末端執行器上加運動約束，使機械臂末端保持固定的閉環標定方法。ＩＫＩＴＳＭ等［７］通過確（què）定（dìng）機械臂的各關節軸線位置，解（jiě）析各（gè）旋轉軸之間的代數關係並確（què）定運動學參數（shù）。ＫＨＡＬＩＬＷ等［８］采用極坐標法研究多約束激（jī）光跟蹤係統運動目標標定。

本文作者根據實際工程項目需求，對課題組研製開發的發（fā）動機絕熱層機械打磨機械臂的靜態精度進行研究，為保證打磨精度，首先對機械臂的靜態精度有（yǒu）重要（yào）影響的因素（sù）進行分析，確定靜態誤差的靈敏度，再針對機械臂的末端位置及姿態精度進行標定。

1.打磨機械臂運動學建模

為獲得打磨機械臂運（yùn）動（dòng）學模型，采用Ｄ－Ｈ方法建模。根據機械臂的機械構型，對機械臂（bì）主體（tǐ）部（bù）分進行簡化，選取本（běn）體質心處（chù），建立基坐標（biāo）係ＳＢ，大（dà）臂底座中心建立坐標係Ｓ１，並依次建立各關節（jiē）坐標係（xì）和末端坐標係Ｓｅ。關節１、２、３對應的變量分別記為ｄ， θ２， θ３，杆件１、２、３的長度分別記為ｌ、１ｌ２、ｌ３。用Ｄ－Ｈ（Ｄｅｎａｖｔ－Ｈａｒｔｅｎｂｅｒｇ）法建立各坐標係模型。根據（jù）文中所研究的打（dǎ）磨機械臂（bì）幾何結構及運動參數分別如圖１和表１所示。

圖１機械臂各關節的運動學參數（shù）及坐標係

表１Ｄ－Ｈ參數（shù）表（biǎo）

根據表１所示機械臂參數可確定運動學（xué）模型如下：

2.打磨機（jī）械臂誤差建模

采用全微分的方法對式（１）進行微分，即可得到

為了描述（shù）末（mò）端位姿誤差與各（gè）幾何（hé）誤差源之間的關係，采用矩陣（zhèn）的形式建立串聯機（jī）構的幾何誤差模型為：

3.打磨機（jī）械臂靜態誤差分析

為完（wán）成機械臂標（biāo）定並正確評價機械臂的性能，誤差模型的建立（lì）首先應從了解其誤差源（yuán）入手。當忽略控製算法誤差的影響後，根據誤（wù）差的性質和來源來看，主要（yào）包括靜態誤差和動態誤差。其中靜態誤差包括由於機械臂本體的製造和裝配過程中產（chǎn）生（shēng）的幾何參（cān）數誤（wù）差，還有因環境（如溫度（dù））、傳動誤差及因重力等引起（qǐ）的變形誤差，與幾何參數誤差相比，這部分誤差所占比重較小。動態誤差主要指機械臂在工作過程中（zhōng）因力矩、摩擦力、振動等原因隨時間變化的誤差。在這諸多的影響（xiǎng）因素（sù）中，幾何參（cān）數誤差是影響（xiǎng）機械臂精度的最重要的因素，因此主要針對這一誤差加以分析。

在（zài）影響機器人末端執（zhí）行器精（jīng）度的主要因素中，重點考（kǎo）慮結構誤差、傳動誤差、關節間隙與連（lián）杆機構的撓性（xìng）。對於旋（xuán）轉關（guān）節，隨著旋轉角的增大，關節的旋轉誤差將累積增大，而對本機器人來說由於其移動關節的采用直線導軌結構且運動量程較長，所以其直線度誤差不容忽視。因此在（zài）選擇誤差項時（shí）根據機器人（rén）的本體（tǐ）結構，確定各連杆的長度誤（wù）差、直線度誤差、旋轉關節的垂直（zhí）度誤（wù）差及各關節的運動參數誤差作為主要誤差源，其誤差（chà）項的取值及極限（xiàn）範圍如（rú）下：

對本機械臂來說（shuō），其末端的位置精度是影響其工作性能的（de）主要（yào）因素，所以這裏僅對（duì）機器人的末端位置誤差進行分析（xī），機械臂在實際工況中執行兩（liǎng）個動作，一個是僅大臂直線的移（yí）動動作；一個是３個關節都運動的曲（qǔ）線動（dòng）作，針（zhēn）對各單項（xiàng）誤差分別對兩種動作時的誤差進行仿真（zhēn），可得到關節誤差、結構誤（wù）差與（yǔ）末（mò）端位置誤差（chà）的關係曲線如圖２—７所示。（１）當僅（jǐn）考（kǎo）慮連杆長度誤差時，軌跡１和軌跡（jì）２的末（mò）端誤（wù）差與連杆（gǎn）長度誤差之間的關係如圖２和３所示。

圖２沿軌跡１運動（dòng）時末端的位置誤（wù）差分布

圖３沿（yán）軌跡２運動時末端的位置誤差分布（bù）

由（yóu）圖可以看出（chū），對軌跡１，當僅移動（dòng）關（guān）節運動時，連杆誤差僅（jǐn）對末端Ｘ軸方向位（wèi）置精度有影響，且ｘｅ＝０．３ｍｍ；對軌跡２來說，因３個關節的共同（tóng）運動產生的末端位置（zhì）在Ｘ和Ｙ２個方向的（de）位置精度都有影響，從（cóng）變化規律上看２個（gè）方向的誤差變化相似，但在Ｘ軸（zhóu）正向的影響明（míng）顯較大，均值（zhí）約為０．２５ｍｍ。

（２）當僅考（kǎo）慮因結（jié）構參數誤差因素時，軌跡１與軌跡２的末（mò）端位（wèi）置誤差表現如圖４和５所示。

圖４沿軌跡１運動（dòng）時末端的位置誤差（chà）分布

圖５沿軌跡２運動時末端的位置誤差分布

由圖可以看出，當僅考慮幾何誤差（形狀（zhuàng）與位置誤差）時，對軌跡１，末端位置在Ｙ軸方向位（wèi）置誤差隨移動關節的運動而逐漸變大，Ｘ、Ｚ軸誤差則較小；對第二段軌跡來說，末端位置在３個方向的誤差都較大，其中在Ｚ向的誤差均值為０．６ｍｍ，且誤差呈周期性變化，Ｘ和Ｙ向（xiàng）的誤差較小，誤（wù）差均值為０．３ｍｍ左右。

（３）僅考慮關節傳動誤差時，末端位置精度與關節角誤差之間的關係如圖（tú）６和７所示。

圖６末（mò）端位置誤差與移動關節誤差的分布關係

圖７末端位置誤差與轉動關（guān）節誤差（chà）的分布關係

由圖６可（kě）知（zhī），僅考慮移動關節的傳動誤差時，末端僅（jǐn）在Ｘ向有誤差，由於傳動誤差被定義為均勻分布，所以該誤差大小與關節位移呈正比例，在規定時間（jiān）內的位置誤差最大為０．０２ｍｍ；由７圖可（kě）知，當僅考慮關節角誤差時，在Ｘ和Ｙ向的末端位置均有誤差，且隨關節角的增加（jiā），誤差呈周期性變（biàn）化，均值在０．２ｍｍ左右。

為了分析結構誤差和傳動誤（wù）差對機械臂末端的綜合影響，分別令傳（chuán）動誤差不變（biàn），分析結構誤差（chà）對機械臂末端的位（wèi）置誤差的影響，再（zài）令結構（gòu）誤差不變，分析傳動誤差對機械臂末端的位置影響。由上（shàng）圖可知，機械臂的關節傳動誤（wù）差在Ｘ、Ｙ方向對末端位置的影響（xiǎng）較大，且呈周期性變化，而（ér）因幾何誤差造成的結構誤差則（zé）對Ｚ向（xiàng）的位置造成影響，隨著誤差的（de）變大，末端位置誤差也增大，成正比（bǐ）例關係，這（zhè）是由於末考慮誤差分布的影響。綜合來看，轉角誤差引起的傳動誤差對末端的影響要小於結構誤差的影響，因此在誤差補償時應多考慮Ｚ軸的（de）誤差，這（zhè）是由機械臂的結構所決定的。同時根據以上結果（guǒ），在機械臂的精（jīng）度設計時也應重（chóng）要關注（zhù）Ｚ向尺寸鏈的誤差控製。

4.結論

（１）采用ＤＨ模型法建（jiàn）立打磨機械臂的運動（dòng）學參數模型，並基於全微分法建立了運動學（xué）參數誤（wù）差與末（mò）端誤差（chà）的數學（xué）關係，為後（hòu）麵進行誤差分析打好基礎。

（２）對機械臂可能出現的誤（wù）差源進行分析，歸納誤差（chà）源的類型，代入誤差模型進行仿真，得出結構誤（wù）差與傳動誤差（chà）對機械臂末端位置的影（yǐng）響，並根（gēn）據仿真結（jié）果（guǒ）對誤差變化對末端位置（zhì）的影響進行分析，這些信息可用於對實際機械臂參數（shù）誤差（chà）的回歸分析，為在機（jī）械臂（bì）設計及製造階段，機械臂的製造及裝配誤差預計及優化提供數據參考。

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