高速電主軸滾珠軸承-轉子係統 動態性能分析
2016-8-17 來源： 哈爾濱工業大學 作者：張阿祺
電主軸轉（zhuǎn）子-軸（zhóu）承係統的動態性能研究的（de）主（zhǔ）要內容是（shì）分析轉子-軸承（chéng）係統的固有頻率、臨界（jiè）轉速和振動響應。不平衡響應是高速電主軸轉子-軸承係統振（zhèn）動的主要表現之一，它主要是由轉子軸端不平衡質量產生離心力所產生的，並受係統的其他因素影響。
影響轉子-軸承係統動態性能的因（yīn）素很（hěn）多，比如軸向預載荷、軸（zhóu）向外載荷和徑向外載荷、球軸承滾動體（tǐ）的數量及直徑、球滾動體的材料、初始設計接觸角、套圈的滾道曲率半徑（jìng）、主軸係統的轉速等對角接觸（chù）球軸承的動剛度（dù）產生比較大的影（yǐng）響，進而影響係統的動態性能，屬於影響球軸承動剛度（dù）間接影響係統性能。此外，還有主軸上的許多（duō）影響因素，比如電主軸空心轉子內孔直徑、軸（zhóu）承之間的支承跨距、軸承的配置形式、軸承的數（shù）量、內（nèi）裝電機（jī）轉子的外徑、內裝電（diàn）機轉動長度、主軸軸端不平衡質量、轉子的外伸長度等因素。因而，球軸承（chéng）支承的（de）轉子係統的動態性能分（fèn）析（xī）是（shì）非常複（fù）雜（zá）的，通過分析各個因素相互影響、交錯迭代得到相關數（shù）據。本章主要分析轉速、軸端（duān）不平衡質量（liàng）、預載荷（hé）、軸承支承跨距（jù）、轉（zhuǎn）子外伸長度等對轉子-軸承係統的動態性能產生的影響。
4.1、電主軸滾動軸承-轉子動力學係統模型（xíng）
如圖 4-1 中對電主軸（zhóu）的（de）轉子部分進行離散化處理，建立滾動軸承-轉子係統的（de）有限元動力學（xué）模型（xíng），將主軸劃分為 N 個節（jiē）點、（N-1）個單（dān）元。利用有限元基本理（lǐ）論以及高速電（diàn）主（zhǔ）軸（zhóu）滾軸軸承-轉子係統的受力變形特（tè）點，將電主軸主軸（zhóu）單元視為梁（liáng）類零件的橫向彎曲振動模（mó）型為基礎，建立有限（xiàn）元模型。根據有限元劃（huá）分基本原則將主軸轉子劃（huá）分為 N=22 節點，21 個單元，並將質量集（jí）中於（yú）每個單元的兩個節點上。
圖 4-1 轉子有限元劃分圖
4.2、轉子-軸（zhóu）承係統（tǒng）的運動微分方程的分析
一般旋轉機（jī）械的（de）轉子係統（tǒng）是根據梁的橫向彎曲振動，高（gāo）速電主軸潤滑性能很好忽略其阻尼作用，高速電主軸轉子-軸承係統也采用通用的微分方程方程式表示：
XM+KX=F (4-1)
式中 K ——總體剛度矩陣；
M ——總體質量（liàng）矩陣；
F ——總體外載荷列向量；
X ——總體位移向量。
4.2.1 單元剛度矩陣及總體剛度矩陣（zhèn）
考慮軸向位移的梁類零（líng）件的有限元分析，視電主軸振動模型為梁類零件的橫（héng）向彎曲振動模型（xíng），其（qí） i 單元的單元剛度矩陣為：
在總體（tǐ）剛度矩陣相應元素（sù）中按對號入座方法疊加入上（shàng）式主軸軸（zhóu）承支（zhī）承剛度矩陣，即可得到整（zhěng）個轉（zhuǎn）子-軸承係統 3N 階實對稱總體剛度矩陣：
如（rú）圖 4-2 為簡化模型（xíng），對（duì）於節點 N=3 的轉子（zǐ）-軸承係統，有 2 個單元，按照有限元方（fāng）法的剛（gāng）度矩陣求法不難表示（shì）出矩陣的形（xíng）式，兩個梁單元的剛度矩陣（zhèn）最終可分別表示（shì）為（wéi）：
在節點 1 和節點 3 處各有一套角接（jiē）觸球軸承，其對應的單元（yuán） 1 和單元（yuán） 2 的（de）軸承支承剛度分別為：
應用有限元的對（duì）號入座法，將軸承的動剛度組裝入係統的總體剛度（dù）矩陣中，可得最終轉子（zǐ）係統的總體剛度矩陣為：
4.2.2 單元質量矩陣及總體質量矩陣
按照集（jí）中質量法，將（jiāng）單元的質量集中到兩個端麵（miàn），單元內部的質（zhì）量為零，並按照質（zhì）量（liàng）守恒可以得出單元質量（liàng）矩陣，梁單元總質量矩陣為實對稱 6 階矩陣，公（gōng）式可表（biǎo）示為（wéi）：
總附加零件質量矩陣包括大質（zhì）量塊矩陣和空心軸（zhóu）筒的質（zhì）量矩陣（zhèn），大質量塊可將其（qí）質量集中為 mc，空心軸筒可將質量集中於兩端，則單元 i 上的總附加零件質（zhì）量矩陣為：
與前麵係統總體剛（gāng）度矩陣的組裝方式類似，轉子-軸承係統的總體質量矩陣為：
同樣，對於 N=3 的轉子-軸承係（xì）統，有 2 個單元，則兩個梁（liáng）單元的總（zǒng）質量矩陣可分別表示為：
在 M1和 M2自（zì）身中已包含基礎梁單元質量矩陣和（hé）附加零件質量，應用有限元對號入座法（fǎ）可得轉子係統的總體質量矩陣（zhèn）為：
4.2.3 係統總載荷（hé）向量和係統總位移向量
高速電主軸采用角接觸球軸承，有外力作（zuò）用對軸承的剛度、係統的剛度和動態性能都有一（yī）定的影響。圖 4-2 為（wéi）梁結構受力示意圖，其中（zhōng） D為單元 i 的外徑，d為單元 i的直徑，l 為單元長度；虛線為空心部分，打斜線部分為軸（zhóu）上附加零件其外徑為 Df。
圖（tú） 4-2 兩個單元的梁結構（gòu）受力示意圖
根據有限元法，單元兩端 i 和 i+1 節點作用有等效外載荷，並產生相應軸（zhóu）向位移，單元 i 外載荷列向量可表示為：
根據對號入（rù）座原則（zé）將轉子係統所有單元的（de）載荷列向量組裝合成係統總載荷（hé）向（xiàng）量，從而（ér）可得：
同樣，根據對號入座原則將轉子係統所有（yǒu）單元的位移列向量組裝合（hé）成係統總位移向量，從而可得：
4.2.4 係（xì）統運動微分方程（chéng）和自由振動微分方程
根（gēn）據上述（shù）分析，可得包括（kuò）主（zhǔ）軸軸承（chéng）動剛度在內的高速（sù）電主軸轉子-軸承係統的有限元運動微分方程和自由振動微分方（fāng）程可表示為：
M X+KX=F(4-25)
M X+KX=0(4-26)
式中（zhōng） K——係統總剛度（dù）矩陣式；
M——係統總質量矩陣式；
F——係統（tǒng）總（zǒng）載荷矩陣式；
X——係統總位移向量式（shì）。
4.3、係統運動微分方程的求解
4.3.1 轉子-軸承係統的固有頻率和臨界轉速
為確保高速電主軸的工作轉速在安（ān）全範圍內，不發生共振，需（xū）要計算高速電主軸轉子的臨界轉速。
彈性體的自由振動可（kě）以分解為一係列簡諧運動的（de）疊加，設自由振蕩的位移方（fāng）程為：
表 4-1 GS 係列（liè）內（nèi）圓（yuán）磨床用電主軸角接（jiē）觸球軸承-轉子係統的結構參數
表 4-2 軸承 B719000C 的主要結構參（cān）數
表 4-3 文 GS 係列（liè）電主軸提供係統動態性能參數
本文選用上海博紅科（kē）工貿有限公司（sī）的 GS 係列的內圓表麵磨（mó）床（chuáng）電主軸為基礎模型，所選用主軸軸承的鋼球（qiú）材料為 GCr15 軸承材料鋼，主軸軸承的型號為 FAG軸承 B71900C-2RZ/HQ1，d=10 mm,D=22 mm,t=6 mm 的角接觸球軸承其物理性能參數為 μ=0.3，ρw=7.85×10-3 kg/mm3,Ew=2.1×105 MPa，其轉子-軸承係統的結構簡圖如圖 2-2 所示，其他係統結構性能參數如表 4-1 所（suǒ）示，其中，L 為支承跨距，L1為外伸長度，Ld為內置電機長度。假設在（zài）轉子-軸承（chéng）的不平衡響應分析中軸端節點 1處不平衡質量所產生的不平衡激振（zhèn）力的幅值為 A’=15.5 N，彈簧的預載為 70 N，軸承的主要結構參數如表 4-2 所示（shì），GS 係列電主軸提（tí）供的動態性能參（cān）數如圖（tú） 4-3 所示，最高（gāo）工作轉速（sù） n=150000 r/min。
4.3.2 轉子-軸承係統的不平衡響應
電主軸在固有頻率範（fàn）圍內，即在轉速接近（jìn）轉子係（xì）統的臨界轉速的附近區域內時，會發生共振，產生劇烈振動。因此（cǐ），分析振動響應是本（běn）文的主要內容之一。
本文忽略電主軸內部產生的微（wēi）弱不平衡（héng）響應，假設軸端不平衡質（zhì）量為 '1m，不平衡力的大小可表示為：
將不平衡力 F‘1r和係（xì）統總（zǒng）載荷列向量 F 按照對號（hào）入座疊加，得到包括不平衡力的係統總載荷力向量 F’’。在整體外（wài）載的係統微分方程為：
可用無阻（zǔ）尼係統（tǒng）的振幅疊加法求解式（4-35），得到係統的不平衡響應。前麵由頻率方程求出係統的固有頻率 ωi和特征值、特征向量等。
振（zhèn）型疊加法是一種利（lì）用固有頻率和振（zhèn）型求解係統不平衡響應的方法。其基本原理是：對係統自由振動進行模（mó）分析，得到（dào）係統的（de）固有頻率和固有振型及（jí）其模態矩陣，再利用模（mó）態矩陣對係統方程進行解耦，將係統（tǒng）動力學方程轉換為各主坐標上的非耦合方程。
設（shè）係統的主振型為iφ ，代入特征方程（chéng）式（4-28）：
對於的係統的振型模態矩陣為：
依次對剛（gāng）度矩（jǔ）陣，質量矩陣，矢（shǐ）量力進行作坐標變換，使方程解（jiě）耦。則係統的主剛度矩陣（zhèn）和主質量矩陣為：
由於模（mó）態矩陣為正交矩陣，因（yīn）而其轉置矩陣等於（yú）逆矩陣，對初（chū）始條件和激振力作變換：
結合式（4-35）、（4-38）、（4-39）、（5-42），將原方程解耦，最後得出解耦方程（chéng）為：
求出係統在主坐標上的響應後再根據式（shì）（4-40）將主坐標響應變換回原來的物理（lǐ）坐標的響應：
4.3.3 係統運動（dòng）微分（fèn）方程的求解
（1）高速（sù）電主軸的（de）轉子（zǐ）-軸承係（xì）統的（de）運動微分方程是非（fēi）線性方程，由於軸承的動剛度會（huì）發生非線性變化，所以需要采用數值分析中的迭（dié）代方法交互計算，反複迭（dié）代逐步逼近，最（zuì）後求解。係統動態性（xìng）能的求解依托於軸承動剛度（dù）等軸（zhóu）承動態性能的求解，先求解出支承剛度，然後再（zài）解決（jué）係統問題，這是求解本（běn）課題所研究問題的關鍵步驟。係統動力微分（fèn）方程的求（qiú）解程序（xù）的主要流程圖（tú）如圖 4-4 所示。
（2）如表 4-4 所示，本文所計（jì）算的動態（tài）參數的結（jié）果與上海博紅科工（gōng）貿有限（xiàn）公司有（yǒu）在誤差允許範圍內（nèi）。
表 4-4 本文所求係（xì）統動態性能（néng）參數
（3）主軸支承軸承的動力學狀態對係統（tǒng）的性能影響比較大，特別是動剛（gāng）度的影響（xiǎng），直接關係著係統總剛度的變化。預載荷、轉速、軸端附加零件質量、轉子的支承跨距和轉子外伸長度等對係統性（xìng）能的（de）影響較大。本文將通過對固有頻（pín）率、臨（lín）界（jiè）轉速、軸端不平衡響應等的（de）影響因素進行（háng）分析，通過分析這些因素，為電主軸的結構（gòu）設（shè）計，結構優化等提供參考數（shù）據（jù）和（hé）理論基礎。
圖 4-4 轉子軸承係統動力學分析程序流程圖
4.4、 轉（zhuǎn）子-軸承係統動態性能（néng）的影響因（yīn）素及（jí）其分析（xī）
4.4.1 固有頻率的影（yǐng）響因（yīn）素及分析
軸向預載荷、軸向外載荷和徑向（xiàng）外載荷、球軸承滾動（dòng）體（tǐ）的數量及直徑、球（qiú）滾（gǔn）動體的材料、初始設計接觸（chù）角、套圈的滾道曲率半徑等影響因素對角接觸球軸承的動剛度產生比較大的影響，進而影響係統的動態（tài）性能。還有主軸（zhóu）上的許多影響（xiǎng）因（yīn）素，比如電主軸空心轉子內孔直徑、軸承之間（jiān）的支（zhī）承跨距、軸承的配置形式、軸承的數量（liàng）、內（nèi）裝電機（jī）轉子的外徑、內裝（zhuāng）電機轉動（dòng）長度（dù）、主軸軸（zhóu）端不平衡質量、轉子（zǐ）的外伸長度等因素（sù）。因而，球軸承支承的轉子係統的動態性能（néng）分析是非（fēi）常複雜的，通過分（fèn）析各個因素相互影響、交錯迭代得（dé）到相關數據。通過分析這些因素，從而為電主軸的結構（gòu）設計，結構（gòu）優（yōu）化等（děng）參考數據和理（lǐ）論基（jī）礎。
（1）轉速對固有頻率情況由（yóu）圖（tú） 4-5 給（gěi）出，可以看出，中、低速或靜（jìng）止時係統的固有頻率（lǜ）比高速時的固有頻率高出很多。在高速狀態下（xià）隨著轉速的增加，係統的固有頻率會隨之下降，產生較大的變化，並且在相對較高速時，固有頻率會（huì）發生反彈回升，但是幅度不大。
（2）機床電主軸（zhóu）軸端安裝有刀具等軸端（duān）不平衡質量（liàng），也需要添加砂輪等軸端附加零件（jiàn），使得（dé）軸端附加零件質量增（zēng）加並且對軸承-轉子係統的（de）動態性能產生較（jiào）大的影（yǐng）響。如圖 4-6 給出的軸端附加質量對係（xì）統固有頻率的影響關係（xì），基本和轉速對（duì）固有頻率的影響效果（guǒ）一（yī）致，所（suǒ）以應該盡（jìn）量（liàng）減小軸端附加零件的質量（liàng），提高係統性能。
圖 4-5 轉速與固有頻率（lǜ）的關係
圖 4-6 軸端不平衡質量與固有頻率的關係
（3）預載荷對球軸承的剛度影響比較大，一定程度的預（yù）載荷對軸承的剛度和係統的性能有很（hěn）大的提高。如（rú）圖 4-7 所示，隨著預載荷的增加，係統的固有頻（pín）率（lǜ）也在不斷的（de）增加，但是增加的幅度越來越小，所以預（yù）載荷不能太大，太大了也沒有效果，反而對軸承的壽（shòu）命產生不利的影響。
圖 4-7 預載荷與固有頻率的關（guān）係
圖 4-8 軸承（chéng）支承跨距與固有頻率的關係
（4）軸承支（zhī）承跨距和係（xì）統固（gù）有頻（pín）率的關係如圖 4-8 所示，隨（suí）著支承跨（kuà）距的增加，係統的（de）固有（yǒu）頻率先增加後減小，在（zài）軸（zhóu）承支承跨距比較小的時候，軸承-轉子係統的固有（yǒu）頻率變化不大（dà），此時跨距對係統性（xìng）能的影響比較小，當跨距增加到一定程度時，係統（tǒng）的固有頻率較快的增加再快速的減小，從圖上可以看出存在一（yī）個最優（yōu）跨距值，此值為圖形峰值，這是電主軸設計優化時需要考慮的。而在峰值以後也就是在較大跨（kuà）距時跨距對係統固有頻率的影響越來越明顯。
圖（tú） 4-9 轉（zhuǎn）子外伸長度與固有頻率的關（guān）係
（5）如圖 4-9 所示，主軸的外伸長度越大，係統的固有頻率在不斷的減小，外伸長度（dù）較小時下（xià）降得不明顯，當外伸長（zhǎng）度越來越大的時候，係統（tǒng）的固有（yǒu）頻率呈現明顯的下降趨（qū）勢，影響程度非常大（dà）。所（suǒ）以出於（yú）電主軸性能方麵的考慮，較小的轉子外伸長度時係統固有頻率可以有比較大的值，係統的性能也會相（xiàng）應的提高，所以在主軸（zhóu）結（jié）構設計時（shí），應盡量減小主軸轉子的外伸長度值。
4.4.2 臨界轉速（sù）的影響因素及分析
（1）如圖 4-10 所示，軸端不平衡質（zhì）量與臨界轉速的關（guān）係，軸端質量越大，對（duì）係統的一階臨界轉速影（yǐng）響較大，但是（shì）變化速率是變小的。從圖中可以分析得出，係統軸端不平衡質量越小，係統（tǒng）的性能越優（yōu）越。所以應該盡可能（néng）的減（jiǎn）小軸端不平衡質量（liàng）的值。
圖 4-10 軸端不平衡質量與臨界（jiè）轉速的（de）關係
圖 4-11 預（yù）載荷與臨界轉速的關係
（2）如（rú）圖 4-11 所示，預載荷與係（xì）統臨界轉（zhuǎn）速的（de）關係中，隨著預（yù）載荷的（de）增加，係統一階臨界（jiè）轉速也在不斷的增加，變化速率也是在變小的。這是因為預載荷增加，係統支撐軸承的動剛度也相應增加，使（shǐ）得係統的總剛度也相應增加，係統性能也提高了。可以適當的增加（jiā）係統的（de）預載（zǎi）荷，但是預載荷增加後，對支撐軸承的壽命（mìng）影響也（yě）變大，所以預載荷應當選擇恰當。
（3）支撐跨距與係統一階臨界轉速的關（guān）係如圖 4-12 所（suǒ）示，隨著支承跨距的增加，係統的臨界轉速整體上是在減小的。當支承跨距較小時（shí），係統臨界轉速隨著跨距的改變的幅度不大，當（dāng）支承跨距增加到一定程（chéng）度時，係統的一階（jiē）臨界轉速迅速降低（dī），使（shǐ）得係統的性能也相應降低，所以軸承支承跨距應盡可能（néng）的小，以利於提高係統性能。
圖 4-12 軸端支（zhī）承跨距與（yǔ）臨界轉速的關係（xì）
圖 4-13 轉子外伸（shēn）長度與臨界轉速（sù）的關係
（4）轉子外（wài）伸長度與係統一階臨界轉速的關係如圖 4-13 所示，隨著轉子外伸長度的增加，係統的臨界轉速也在減小，而且也（yě）是在轉子外伸長度較小時（shí），係統一（yī）階臨界轉速變化較小，外（wài）伸長度增加（jiā）後一階臨界轉速劇烈較小，這就要求在電主軸設計時，需要對轉子的外伸長度（dù）有一定（dìng）的要求，適當較（jiào）小轉（zhuǎn）子外伸長度（dù）有利於電（diàn）主軸係統的動態性能提升。
4.4.3 不平衡響應的（de）影響因素及分（fèn）析
（1）如圖（tú） 4-14 所示，轉子外伸長度與軸端不平衡響應（yīng）的關（guān）係，可（kě）以看出，轉子（zǐ）外伸長（zhǎng）度越大，對係統的軸端不平衡響應影響越大，而且變化速率也變大。從圖（tú）中可以分析（xī）得出，係統軸端不平衡質量（liàng）越大，係統的軸端不平衡響應越大，係統的性能越差。所以應該盡可（kě）能的減小軸（zhóu）端不平（píng）衡（héng）質量的值。
圖 4-14 轉子外伸（shēn）長度與不平（píng）衡響應（yīng）的關係
圖 4-15 預載荷與不（bú）平衡（héng）響應的關（guān）係（xì）
圖 4-16 軸承支承跨距與不平衡響應的關係
圖 4-17 轉速與不平衡響應的關係
（2）預載荷與軸端不平衡響應的關係如圖 4-15 所示，可以（yǐ）看出，添加在軸上預載荷越大，係統的軸端不平衡響應越小，但是變化率也同（tóng）時在減小，也就是說，當預載荷增加（jiā）到一定程度時，預（yù）載荷對（duì）係統的（de）軸端不平衡響應的影響幾乎可以忽略，雖然（rán）預載荷可以減小軸端不平衡響應，但是也不能盲目的增加，因為預載荷過大會降低軸承壽命。
（3）如圖 4-16 所示，軸承支承跨距與軸端不平衡（héng）響應的關係圖，從圖中可以看出，隨著軸承支承跨（kuà）距的不斷增加（jiā），主軸軸端不平衡響應不斷的減小，所以從係統的振動響應方麵考慮，軸端軸承支承（chéng）跨距增加有利於減小軸端不平衡響應，從而改善係統的動態性能。但另一方麵，由之前的支承跨距使得一階固有頻率和一階臨界轉（zhuǎn）速減小，對係統的動態性（xìng）能又具有一定的副作用。
（4）轉速對軸端（duān）不（bú）平衡響應的影響表現在較（jiào）低速時（shí）增加比較明顯（xiǎn），如圖 4-17所示，隨著轉速的增加，轉子（zǐ）軸端不平衡響應越來越（yuè）大，最後（hòu）到一定值的時候，基本上就不再增加了。由（yóu）此可見，電主軸要想得到高轉速時軸端不平衡響（xiǎng）應較小，需要（yào）對其他影響因素進行控製，畢竟高（gāo）轉速才是提高機床加工性能（néng）的關鍵。
4.5、本章小結（jié）
本章通過對（duì）轉速（sù）、軸端質量、預載荷、軸承支承跨距、轉子外伸長度等影響（xiǎng）因素對轉子-軸承係統的動態性能產生的影（yǐng）響進行分析，最終得出（chū）以下結論：
（1）主軸支承軸承的動力學狀態（tài）對係統的性能影響（xiǎng）比較大，特別是（shì）動剛度（dù）的影響，直接關係著係統總剛度的變化。在轉子係統高速運轉狀態下，軸承的內部動力學狀態影響更是不可忽略。預載荷和（hé）轉速對（duì）係統的固（gù）有頻率（lǜ）、臨界轉速、軸端不平衡響（xiǎng）應（yīng）等影響較大，一定程度的預載荷增加（jiā）有利於係統性能的提升，但是並不是預載荷越（yuè）大越好，因為考慮到（dào）預載荷增加會使軸承壽命降低。轉（zhuǎn）速的增加對係統動態性能的影響是（shì）負麵的，電主軸（zhóu）結構的設計（jì）就是為了實現在高轉速狀態下把這些負麵影（yǐng）響降到最低。
（2）軸端附加零件質量、轉子的支承跨距（jù）和轉子外伸長度（dù）等（děng）主軸轉子結構設計也會對係統的性能產生較大的（de）影響。轉子的支承跨（kuà）距對係統臨界轉速的影響（xiǎng）出現了一（yī）個峰值，在峰（fēng）值附近係統的（de）軸端不（bú）平衡響應也（yě）比較小，可以考慮選（xuǎn）取附近的值作為係（xì）統的支承跨（kuà）距；軸端附加零件質量的影響是負麵的，質量越大對係統性能越不利，所以應當適當減小軸端零件砂輪等的質量；轉（zhuǎn）子外伸長（zhǎng）度（dù）對係統固有（yǒu）頻率、臨界轉速（sù）、軸端（duān）不平衡（héng）響應的影（yǐng）響和轉子軸端附（fù）加零件質量的影響趨勢基本相似，所以外伸長度也應該選取較小的適當的值。
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