摘要：機床剛度、固有頻率等動力學特性隨著機床部件位置、姿態在工作（zuò）空間中的變（biàn）化而變化。對機床（chuáng）動力學特性的（de）研究不僅需要考慮到機床質量、剛度、阻尼（ní）值的（de）大小，還應重視（shì）機床加工（gōng）點的空間位置變化。采用空間統計學方法，以超精（jīng）密機（jī）床固有頻率這一關鍵動力（lì）學性能（néng）為例，分析機床（chuáng）動力學性能（néng）與機床位（wèi）置姿態之間的（de）數學關係，選（xuǎn）取機床動態特性變異（yì）函數，建立動力學性能變化預（yù）測的Kriging 方法模型，研（yán）究（jiū）動力學特性在工作（zuò）空間中的變化規律以及動力學特（tè）性空間信息的表述（shù）方法（fǎ）。將所建立（lì）的模型與正交（jiāo）多（duō）項（xiàng）式方法、徑向基神經網絡方法、二階響應（yīng）麵方法等方法建立（lì）動力學性能預測分析模型比較（jiào），空間統計學Kriging 方法（fǎ）所建立的模型R2 檢驗大於0.96，在四種模型建構（gòu）方式中為精（jīng）確度（dù）最優，能夠在完整（zhěng）工（gōng）作空間中準確地描述機床動力學特性（xìng）。基於空間統計學的機床動力學特性研（yán）究為機床的動力學設計提供了新的設計分析方法及相應的技術支持。
 
      關鍵詞：機床動力學；加工空間；空間統計學（xué）；Kriging 模型；固有頻率
   
      0 前言
   
      機床動力學特性是機床（chuáng）重要的性能指標。不（bú）恰當的機床（chuáng）設計（jì）和使用將（jiāng）引起機床加（jiā）工中的顫振，使得機床（chuáng）的切削條件變（biàn）得不穩定，導致刀具（jù）的磨損和斷裂，產生加工中的振動和噪聲，影響機床加工精度和工件表麵形貌，加速機床本身（shēn）的磨損和破壞。與機床（chuáng）動力學（xué）性能相關的機床設計參數通（tōng）常（cháng）有機床的（de）剛度、固有頻率、模態振型（xíng）、阻尼、質量分（fèn）布等。機床動力學特性（xìng）設計和分析通常采用有限元（yuán）方法建（jiàn）立虛擬仿真環境[1-3]，提供在一個具（jù）體的位置（zhì）和姿態下（xià），機床的n 階（jiē）固（gù）有頻率和對應的（de）模態振（zhèn）型以及剛度（dù），為機（jī）床的動力學設（shè）計提供數據支持。虛擬（nǐ）仿真環境解決了機床運動過程中（zhōng）的位置相（xiàng）關的（de）動力學性能評估問題，但尚未對機床（chuáng）各加工位（wèi）置之（zhī）間的動力學性能的（de）變化趨勢和關聯性進行（háng）分析。針對機床工作空間中動力學特性的演（yǎn）變，許多學（xué）者進行了（le）分析研究。ZAGHBANI 等[4]采用機（jī）床加工過程中模態的變化為指標來評估（gū）機床動力學特性的穩定性。WU 等[5]分別使（shǐ）用數值計算和試驗方法研究了5自由度混聯機床工作空間中的（de）剛度分布，並嚐試通過改（gǎi）進剛度最低的部件（jiàn）剛度來優化係統剛度。劉海濤（tāo）等[6]通過定義廣義加工空間函數的（de）方法，在龍門（mén）機床和立（lì）式機床的整個工作空間進行（háng）模態分析和動（dòng）力響應分析，獲得了低階固有頻率在加工空間中變化最（zuì）大可達25%的結論，證明了機床性能的優化中完整模態（tài）信息的重要性（xìng）。但目前，關於動（dòng）力學特（tè）性在工作空間（jiān）中的變化規律的研究以及動力（lì）學特性空（kōng）間信息的表述方法的研究還未見有詳細研究的報導。
   
      本文通過機（jī）床（chuáng）工作空間動力（lì）學特性（xìng）分析機床動力學性能的空間特性的內在形成機製，繼而，以一階固有（yǒu）頻率為例，建立空間中的機床動力學特性的空間統（tǒng）計學模型，通過與（yǔ）正交多項式模型、神經網（wǎng）絡模型及二次響應麵模型（xíng）的比（bǐ）較，分析動力學性能的影響因素的同時，獲得高精度的空間動力學特性表征模型。
     
     1 、機床動力學性能（néng）的空間特性分析
   
     如圖 1 所示[7]，機床剛度、固有頻率、模態振型等動力學參數是機床（chuáng）關鍵部件及（jí）結合部組成的（de）剛度鏈[8-10]結構特性和機床空間位置、姿態等空（kōng）間特性的函數。剛度鏈隨著機床（chuáng）的位姿變（biàn）化而變化。剛度鏈每一位置姿態對應的剛（gāng）度、固有頻率等模態（tài）信息都可以使用多體動力學和有限元分析的聯合仿真方法求解[2]。

      
                    圖（tú）1 機床（chuáng）剛度（dù）鏈及機床動（dòng）力學特性（xìng）
     
     機床剛度鏈（liàn）的兩個端點（diǎn）刀具和工件在加（jiā）工過程中位置變化包絡形成機床工作空間。加工空間內的質量矩陣（zhèn）、阻尼矩陣、剛度矩陣隨著機床位置姿態的變化而變化，並引起固有頻率、模態、動剛度等動態特性的變化。其中，質量矩陣在加工（gōng）過程中隨著運動部件重心的變化而變化；阻（zǔ）尼產生機理和計算方法（fǎ）尚有爭論；機床的剛度鏈組成（chéng）複雜，包括：結構件（jiàn）剛度、主軸剛度、導軌（guǐ）剛（gāng）度、結合部剛度、電機伺服剛度、氣浮軸承剛度等，在機床運動過程中，這些剛度（dù）鏈的剛度變化（huà）量級不（bú）同。在三個因素綜合作用下，機床的固有頻率、模態、動剛度（dù）等動態特性在加（jiā）工空間中的（de）變化呈現非線性、變化規律複雜。
   
      決定機床動力學特性的機床質量矩陣 m、剛度矩陣k 和阻尼矩陣c 都隨著剛度鏈的變化而變化，機床的動力學特性是（shì）空間位置(x, y, z)的函數。可寫為（wéi）
 

  
      將位置姿態（tài）數據(x, y, z)反複代（dài）入到（dào）式(1)，獲得某5軸銑床各加工位置（zhì）的一階固有頻率，如圖（tú）2 所示（shì）。對式(1)、(2)進行模態疊（dié）加，可得到由固有頻率值和模態矢（shǐ）量表述的動剛度等動（dòng）態特性
    
     
     
      根據以上（shàng）數學推導及分析可知，由於機床運動中質量、阻尼、剛度改變的連續性，加工空間中的動力學（xué）特性數據各（gè）位置間明顯具有關聯（lián）性，表現為鄰近位置的動力學特性相似。這種數據之間的關聯性，使得超精密機床加工空間動態性能具有空間依賴（lài）性(空（kōng）間自相關)。在進行動態性能分析時，既考慮到各（gè）采樣點具體值的（de）大小（xiǎo），又重視樣本空間位置及樣本間的距離（lí）的方法會更有利於動態（tài）性能的把握。空間對（duì）象間的相關性和非（fēi）獨立的有效科學方法是基於數據的空間統計學。從（cóng）這個性質而言，傳（chuán）統的代（dài）數多項式擬合建立在數據獨立性的基礎上，代數多項式的統計模型對空間數據的分析會產生虛假的解釋。目前流行的神經網絡方法沒有在算法中明確指出從（cóng）空間特性上對動態性能學習和分析的途徑，其對整機動態特性的掌握也沒有考慮空間數據關係（xì）的（de）空間分析方法精準。在空間特性分析上，Kriging 方法[11-12]是以已知樣本信息（xī）的動態構造為基礎，充分考慮到變量在空間上的相關特征，建立對象（xiàng）問題的近似函數關係來模擬某一點的（de）未知信息的有效空間統（tǒng）計學方法。

     
                              圖2 加工空間各加工位（wèi）置的固有頻率值

      因此，本文（wén）嚐試使用 Kriging 方法建立近似模型對加工空間（jiān）動態特性預測分析，並與傳統代數多項式建立的（de）響應麵近似模型、及基於對數據學（xué）習（xí）分析的神經網絡模型對比，以期獲取更好性能預測（cè）分析（xī）。
   
 
      2 、動力學（xué）性能的Kriging 預測模型

      Kriging 插值[11]是一種求最優、線性、無偏的空間內插（chā）方法，采用協方差衡量各點空間相關程度。它是基（jī）於（yú）線性回歸分（fèn）析的一種改進，模型包含了線性回歸部分和非參數部分，其中的非參數部分被稱為變異函數，采用隨機分布函數的（de）實現。

      常用於擬合變異函數的模（mó）型包括指數模型、高（gāo）斯模型、Matérn 線性模型、Matérn 立方模型。通過計算模型協方差，找出最佳（jiā）理論變異函數模型，獲得最好擬合效果，計算公（gōng）式為（wéi）

     
  
     至此，對加工空間中任意點的一階固有頻率可使用式(16)計算獲得。其他如剛度、高階固有頻率、阻尼等相關動態性能（néng）參數（shù）均可使用此方法計算。下麵以（yǐ）一階固有頻率為例對Kriging 方法建（jiàn）立的（de）模型（xíng）進行加工空間內機床動態特性（xìng）分析。
   
      3 、機床動態特性分析
 
      3.1 動態特性變異函數的選擇
   
      取圖 2 中27 個空（kōng）間點作為位置變（biàn）量輸（shū）入P = {p1, p2 ,, pn}，對應響應變量的輸出數據f1,f2.... fn，計算刀具加工點（diǎn）位於空間位（wèi）置p 時機床的動態性能。
 
      將（jiāng）已知的 27 個空間位置的一階固有頻（pín）率數（shù）據代入，選擇（zé）變異函數（shù）g(x, y, z)協方差計算模型為指數模型，獲得正則化θ 參數如表1 所示。
 
                                  表 1 Kriging 模型（xíng）θ 參（cān）數

      至此，完成整體模型擬合。

     
    
     圖3 指數函數模型頻率預測（cè）值與真實值比較由於 Kriging 模型建立時考慮了數據的內在相關性，所有變異函（hán）數獲得的近似模型擬合精確（què）度檢驗R2 檢驗值均大於0.95，四種（zhǒng）變異（yì）函數都可以比較精確地表達一階固有頻率在加工空間內的變化規律。四種模型中指數函數模型能夠更好地表達（dá）數據之間的相關性（xìng），近似精度最高。
 
      3.2 一階固有頻率的變（biàn）化規律（lǜ）
   
     以圖 2 中（zhōng）的超精密銑床為例，研究機床加工空間中一階固有頻（pín）率的變化規律。

      圖 4 中X 剖麵從左到右依次為x=-115 mm，x=0mm，x=115 mm。對三幅圖中同一(y, z)點值（zhí）分析可知，隨著導軌在X 方向的移動，該超精（jīng）密銑床工作空間中相同(y, z)位（wèi）置一階頻率將產生6%非線性改變。圖 5 中Y 剖麵左到右（yòu）依次為y=0 mm，y=112.5mm，y=225 mm。對三幅圖（tú）中同一(x, z)點值（zhí）分析可知，隨（suí）著導軌在Y 方向的移動，工作（zuò）空間的相同(x,z)位置一階頻率幾乎沒有發生改變。由（yóu）此（cǐ）可知，能（néng）通過Y導軌運動到達的工作位置，應優先移動Y導軌。如圖 6 所示，圖中（zhōng）Z 導軌位置從左（zuǒ）到右（yòu）依次為z=0 mm，z=80 mm，z=160 mm。隨著導軌在Z 方向的（de）移動，工（gōng）作空間中相同(x, y)位置一階頻率將產生（shēng）5%的非線性的改變。由於Z 方向是加工敏感方向，這種變化（huà）在超精密加工中產（chǎn）生影響需要盡量避免。對（duì）三幅圖中同一點值分析可知，當Z 導（dǎo）軌位於定導軌中部(z=80 mm)位置時（shí），工作空間中(x, y)點位置的變化對整（zhěng）機頻率影（yǐng）響最小。

        
                                          圖4 工作空間內的一（yī）階（jiē）頻率(X 剖麵)

      
                                                  圖5 工作空間內的（de）一（yī）階頻率（lǜ）(Y 剖麵)
  
  

   
                                                     圖6 工作空間（jiān）內的一階（jiē）頻率(Z 剖麵)
   
 
      根據以上分析可知，機（jī）床的一階固有頻率在工作空間是變化的，為了保持機（jī）床（chuáng）工作的平穩，應優先使用頻率變化小的運動方式來保（bǎo）障機床具（jù）有更（gèng）平穩的動態性能。以（yǐ）文中所使用的（de）超精密銑床（chuáng）為（wéi）例，該機床在工作時應該盡量使（shǐ）得Z 導軌停留在定導軌的中部，優先進給（gěi）Y 軸，減（jiǎn）少X 導軌的運動來降低超精密加工中機床性能變化對精度帶來（lái）的不利影響（xiǎng）。
   
     4 、對比研究
   
     機械設計分析中，傳統上更多地使用包括正交多項式模型（xíng）[14-15]和響（xiǎng）應麵模型（xíng）[16-17]等多項式近似模（mó）型。近年來，神經網（wǎng）絡模型[18-19]作為近似分析模型在（zài）機床建模和機械產品性能分析中也日益廣泛使用。本節測試這三種模型在機床動態特性分析中的適（shì）用性（xìng）。
      
     4.1 正交多項式模型
     
     將 上 述 27 個采樣（yàng）點（diǎn）作為輸入點， 采用（yòng）CHEBYSHEV 正交多項式建立機床一階固有頻率的空間動態模（mó）型。可（kě）解得R2=0.471 63，由於R2 小於0.9，誤差值過大，這種算（suàn）法構建的一（yī）階固有頻率空間變化規律模型用於分析時可信度非常低。
   
     計算出的一階固有頻率（lǜ）預測值與真實值比較（jiào）及一階固有頻率（lǜ）分布如圖（tú）7、圖8 所示（shì）。由於誤差值（zhí）過大，可認為這種構（gòu）造近似模（mó）型的方法得到的近似模型用於分析時可信度（dù）較低。

      
       圖7 正交多項式近似模型頻（pín）率預測值與真實（shí）值比較
    
     
                   圖8 正（zhèng）交多項式（shì）近似模型仿真結果

     4.2 徑向基神經網絡模型
   

     徑向基神經網絡模型形參（cān）數取值 2.97，構造後得到R2=0.885 47。殘差分析（xī）如圖9 所示（shì），仿真模型如圖10 所示。由於誤差值過大（dà），可認為這種構造近似模型的方法得（dé）到的近似模型用（yòng）於分析時可信（xìn）度較低。

       
     圖9 神（shén）經網絡模型模型頻率預測值與真實值比較
  
  

     
                 圖10 神經網絡模型（xíng）仿真結果及分析

     4.3 二階（jiē）響應麵模型
   
    根（gēn）據給定的 27 個點的初值，可寫出二階響應麵模（mó）型(Response surface method, RSM)構造方程。二階（jiē）響應麵模型R2=0.346 71，精確度分析如圖11 所示，頻率分布仿真（zhēn）效果如圖（tú）12 所示。由於R2 遠小於0.9，誤（wù）差值過大，可認為這種構造近（jìn）似模型（xíng）的方法得到的近似模型用於分析時可信度非常低（dī）。

      
        圖11 RSM 近似模型頻率預測值（zhí）與真實值比較（jiào）
  
 

     
                 圖（tú）12 RSM 近（jìn）似模型仿真結果及分（fèn）析
 

     5 結論
   
     (1) 本文使（shǐ）用Kriging 方法（fǎ）建立空間（jiān）統計模型進行機（jī）床動力學特性研究，獲得了固（gù）有（yǒu）頻率、剛度在加工空間分布規律，在完（wán）整工作空間中準確的描述超精密機床動力學特（tè）性。
     (2) 機床動力學特性的（de）剛度、固有頻率等主要因素隨著機床位置（zhì）姿態的變化規律可使（shǐ）用Kriging方法描述。方法中的四種變異函數模型(指數函（hán）數、高斯函數、線性函數、三次函數（shù）)，指數（shù）函數模型能夠更好的表達數據之（zhī）間的相關性，近似精度最高。
     (3) 由於正交多項式模型、響應麵模型和神經網絡模型在模型建（jiàn）構中使用了數據獨立性假設，該假設與機床動態特性數據的空間相關性相違背，所以不適合用於（yú）機床動（dòng）力學特性變化（huà）規律的描述。本文的（de）研究結果為（wéi）超精密（mì）機床的動力學設計提供（gòng）了新的設計分析（xī）方法和技（jì）術支持。為機床使用中加工位置和（hé）姿態的選擇（zé）和路徑規（guī）劃提供了原理和數（shù）據支（zhī）持。