在五軸機床的NC 驗證中, 圖（tú）形（xíng）法驗證顯然無法滿足五軸機床的複雜（zá）性, 這是由圖形法驗證方法的簡（jiǎn）單性（xìng）和粗糙性決定的。以（yǐ）布爾運（yùn）算為特征的實體碰撞和（hé）幹涉檢驗方法, 隨著實體複雜程度的提（tí）高, 布爾運算耗費時間（jiān）和內存的特點也逐漸顯現出來。加工件（jiàn）逐步（bù）成型技術可（kě）以很好（hǎo）地仿真材料的切除過程, 但是複雜（zá）實體裁剪線段的算法實現起來也是困難重重。離散點（diǎn）法矢量切割檢驗方法[ 6, 9] 用法矢量和刀具掃描體求交的方法進行NC 驗證, 此方法被認為（wéi）是進行NC 驗證最精確的方法[10] , 對精度檢驗來說還是不可替代的方法[ 9] , 可以給出定（dìng）量的精度信息。該方法的難點（diǎn）有兩個: 一是刀（dāo）具掃（sǎo）描體的構造和顯示, 二是射線和（hé）曲麵的求交（jiāo）算法。本文就是針對這一NC 驗證（zhèng）算法, 對刀具掃描（miáo）體構造和顯示問題展開研究。

1　五軸刀具掃描體的運動特點

     現代數控機床（chuáng）加（jiā）工複雜零件的過程一般如下: 首先根據零（líng）件圖樣及工藝要求等原始條（tiáo）件計算刀位軌跡, 產（chǎn）生刀位原文件, 然後經過後置處理（lǐ）把刀位（wèi）原文件轉換成指定數控機床能執行的數控（kòng）程序, 驅動相應的執行機構（gòu）進行加工。現代的數控加工過（guò）程（chéng）, 在（zài）零件正式加工之前都要進行NC 驗證。NC 驗證主要關心的是刀具與零件的相對位置（zhì）關係, 這種關係或者直接由NC 程序來約（yuē）束, 或者由刀位文件（jiàn）進行約束。由於不同的數控係統具有不同的指（zhǐ）令集, 由NC程序直接驅動的加工仿真需（xū）要後置處理過程（chéng）的配合, 對後置處理的研究超出了本文的研究（jiū）範圍, 本文采（cǎi）用刀位（wèi）文件來規定刀具與（yǔ）零件之間的相互關係。刀位文件具有（yǒu）一定的格式, 需要一個刀位解釋器對其進行處理, 從中提取出用於加工仿真的刀位軌跡信息。刀（dāo）位軌跡信息主要包（bāo）括刀心位置（zhì）和刀軸方向。五軸機床由於增加了二個擺動軸, 使得刀具的刀（dāo）軸矢量在加工過程中是變化的, 如圖1 所示。

2　刀具掃描體的描述

    刀（dāo）具掃（sǎo）描體就是刀具在加工過程中沿著加工軌（guǐ）跡運（yùn）動時所掃過的空間幾何（hé）實體。有許多文獻介紹過（guò）掃描體的（de）生成[1, 2, 11, 12] , 它們的生成方法（fǎ）均建立在微分方程的基礎上（shàng）,用數學方法求得曲麵包絡麵方程, 因而生（shēng）成的算法比較複（fù）雜, 實現比較困難, 運算速度較慢。其（qí）中W. P. Wang 和K. K. Wang 的方法具有代表性[ 1, 2] 。

    本文由五軸刀（dāo）具掃描體的運動特點出發, 把刀具掃（sǎo）描體看成是每兩個刀位點之間掃描體的連接, 形成一（yī）個完整的掃描體, 由於在五軸數控加工中, 一般隻采用直線插補,所以這種假設是符合經過後（hòu）置處理後得到（dào）的NC 程序運行（háng）的實際情況的（de）。由於在（zài）運動（dòng）過程中刀軸矢量是變化的, 刀具的各個部位掃過的表麵並不是平麵, 球（qiú）頭（tóu）刀的（de）刀頭部分掃過的包絡麵也不是標準的柱麵。在（zài）兩個連續的刀位點之間（jiān）的包絡麵應該是一個掃描麵, 這個掃描麵是（shì）由二維的邊界曲線或（huò）者直線沿著空（kōng）間某個方向運動形成的, 在這個運動過程中同時伴隨著回（huí）轉動作（zuò）, 所以（yǐ）形成（chéng）的包絡（luò）麵形狀頗為複雜。用常規的拚合方法（fǎ）難以滿足造型（xíng）需要。

    非均勻有理B 樣條( NURBS ) 技術的（de）出現, 使得無論對（duì）標準的解析形狀( 如圓錐（zhuī）曲線、二次曲麵、回轉麵等) 還是自由曲線（xiàn）、曲麵都提供了統一的數學表示和統一的表（biǎo）示參數。這解決了實際應用中大量存在的各種類型曲麵並存, 但是沒有一個有效表示這些曲（qǔ）麵形狀的統一的數學方（fāng）法的問題。本文以球頭（tóu）圓柱刀作為（wéi）研究（jiū）對象, 刀具在運動中, 球麵部分掃過的曲麵可以看（kàn）作是一個個的直紋麵銜接而成, 這（zhè）種直紋麵不能用一般（bān）的體素（sù）造型（xíng）方法很好的表示, 利用非均勻有理B 樣條( NU RBS) 方法可以解決這一問（wèn）題。但是由於構造（zào）該直紋麵的邊界曲（qǔ）線是一個半圓（yuán）, 而（ér）NURBS 曲線是由控製點來表達的自由曲線（xiàn）, 從它的表達式不（bú）能簡單地推導半圓（yuán）弧的表示形式。因此有必要首（shǒu）先研究用NURBS 曲線表示（shì）圓弧的方法, 然後才（cái）能（néng）得出直紋麵的NURBS 表達式。

3　刀具（jù）掃描體（tǐ）構造新方法

    本節首先推（tuī）導刀具的球頭部分形成的掃描麵, 該麵是整個（gè）掃描體構造中（zhōng）最（zuì）複雜的部分, 其它部（bù）分可以（yǐ）看成是此部分曲麵的簡（jiǎn）化, 可以按照此部分曲麵加以推導即可。刀頭部（bù）分（fèn）掃描麵的邊界曲線（xiàn）是半圓弧, 3 次NURBS曲線能簡便（biàn）地表示半圓弧, 方法如下:

    定理　若已知三次有理Bezier 曲線Ci( u) , 其控（kòng）製頂點（diǎn）及其權分別（bié）為Ui , Ui+ 1, Ui+ 2, Ui+ 3; H i , H i+ 1, H i+ 2, H i+ 3。則它可以用三次NURBS 曲線（xiàn）

     由於刀具掃描體可以看成是在三維空間經過掃描所產生（shēng）, 所以還必須求出掃描（miáo）後產生（shēng）的掃描麵方程, 根據五軸機床刀位軌跡驅動的刀具掃（sǎo）描體的運動特點, 構造出的掃描麵應該是NU RBS 曲麵, 把每二個刀位點之（zhī）間的運動看成是二維圖（tú）形在空間沿直線運動和回轉運動的結合。

     已（yǐ）知空間（jiān）兩點P 0, P1, 連接兩點的直線可表示為

    根據上述NURBS 曲麵定義以及半圓弧（hú）和直線的NU RBS 表示, 我（wǒ）們可以構造出球頭刀具的球頭部分( 球頭也是刀具繞刀軸形成的包絡麵, 此點請引起注意) 在三維空間掃描形成的掃描體外表麵公式（shì）。令

    上式為（wéi）一（yī）條（tiáo）線段的NURBS 表示式。證明掃描麵是直紋麵。刀具掃描體的其餘部分包括: 起始點的刀具原體, 它（tā）們是半（bàn）球和圓柱體, 可以用B-rep 來表示。

3 仿真結果

    OpenGL 是一個（gè）工業標準的三維計算機圖形軟件接口（kǒu）, 它的GLU 庫函（hán）數提供了一個NURBS接口, 利用上麵推導出的結果, 結合CAD/ CAM 軟件（jiàn）生成的刀位文件, 我們用VC 編寫了一個五軸刀（dāo）具掃描體的仿（fǎng）真軟件, 由圖3 中效果可以看出, 刀具掃描體的表麵（miàn）光滑, 各個離（lí）散的掃描體（tǐ）的銜接連續, 能（néng）夠反應真實（shí）的刀具掃描體的包絡麵。