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麵向五軸加工的雙NURBS 曲線插補（bǔ）算法

2013-8-12 來源：作者：上海交通大學（xué）機械與動（dòng）力工程（chéng）學院,姚哲,

數控（kòng）係統的一個（gè）發展方向（xiàng）, 而五軸聯動數控機床（chuáng）是複雜曲麵高效（xiào）加工的最佳手（shǒu）段. 在常（cháng）規CAM 係統輸出的五（wǔ）軸加工程序中, 複雜曲麵加工的（de）刀具路徑是用小直（zhí）線和圓弧近似逼近的, 這種近似會產生兩個（gè）問題: ¹ 為了達到加工（gōng）精度的要求, CAM 係統需要生成更加密集的小直（zhí）線和圓弧擬合的曲線段, 同時相應表（biǎo）達的（de）N C 代（dài）碼也變得更多, 而（ér）且隨著加（jiā）工精度要求的提高, NC 代碼量會成倍增加. 這樣的處理方式不僅加重了CAD/ CAM 係統和CNC 係統的傳輸負擔, 同時也占（zhàn）用了過多的CN C 存儲（chǔ）空間. 因此, 考慮到加工時間和加工耗（hào）費, 常規（guī）插（chā）補方（fāng）式效率（lǜ）低而且不（bú）經濟. º 由於曲線是由小線段和（hé）圓弧擬合而（ér）成, 會導致曲線在節點處的速度和（hé）加速度的不連（lián）續（xù）, 這樣會（huì）導致加工過程（chéng）中的進給率波動過大, 降低加工精度和表麵質量.

為解決以上問題, 國內外一些學（xué）者提出（chū）采用（yòng）參數（shù）化插補的方法代替常規線性（xìng）插補. 在這種參數（shù）曲線插補中, 非均（jun1）勻有理B 樣條( NU RBS ) 是在參數化插補（bǔ）中得到最廣泛應用的一種曲線表達方式. 在幾何（hé）描述上, N URBS 曲線能用比小線段和圓弧更少的數據來描述曲線, 因此能減少數據量, 減少CAD/ CAM 和CNC 之間的傳輸（shū）時（shí）間; NURBS 曲線的（de）C2 參數連續保證在（zài）插補過程中進給速度和加速度的平滑. 正是基於（yú）NU RBS 曲線表達的這（zhè）些優勢,越來越多的商（shāng）用CAD/ CAM 係統及內（nèi）核ACIS 與Paraso lid 都先後開發擴充了NURBS 功能.

現有的高檔（dàng）數控係統, 例如FA NUC、MITSUBISHI 等, 也開發出了五軸（zhóu）N URBS 插補功能模塊. 文獻[ 1-3] 中也提出了NURBS 插補算法（fǎ）. 在該算法中（zhōng）, CAM 係統及後處理程序完成刀位點的坐標變換和五軸進給命令輸出; 其NU RBS 功能是CAM 係（xì）統直接輸出在機床坐標係下（xià）由（yóu）兩條多項式曲線定義各軸移動指令, 其中（zhōng）: 一條三維的參數曲線定義3 個平動軸x、y、z的運動; 一條二（èr）維的參數曲線定義轉動軸A 、B、C 的運動, 2 條參（cān）數（shù）曲線采用相同的控製節點序（xù）列. 然而這種方法輸入的僅僅是機床坐標係下的移（yí）動（dòng）指令, 限製了插補模塊的功能, 加工（gōng）的誤差和速度控製（zhì）缺乏一定的擴展性. 問題主要（yào）表現在:

( 1) 五軸加工需要進行坐標轉換, 而在坐標轉換（huàn）的過程（chéng）中（zhōng）會存（cún）在較大的非（fēi）線性誤差, 而非線性（xìng）誤差的控製是五軸高速高精度加工的關鍵問題[ 4, 5] . ( 2) 該方法移動（dòng）指令所表示的是（shì）刀位信息, 無法得到（dào）準確的（de）刀尖點的信息, 因此, 該插補方式無（wú）法控製刀尖點的速度恒定, 降低加工精度.

為解（jiě）決以上2 個（gè）問題, 本文提出一種新的五軸（zhóu）雙NURBS 曲線插補格式, 並提出（chū）針（zhēn）對該數據格式保持恒（héng）定進給速度的插補算法, 從理論上極（jí）大地減小了非（fēi）線性誤差. 在（zài）本方法中, CAM 係（xì）統把一段理想刀位點擬合成曲線, 刀位（wèi）點和刀具軸線矢量都是在工件坐標係下（xià）描述的. NC 單元讀入曲線信（xìn）息進行直接NURBS 曲（qǔ）線（xiàn）插補, 生成（chéng）密化數（shù）據點序列, 最後進行坐標轉換, 生成伺服係統需要的移動指令, 實現數控（kòng）加工（gōng）. 在該方法中, CNC 輸入的是工件幾何模型的（de）刀具（jù）路徑信息, 有更豐富的幾何（hé）信息便於CNC的插補模塊速度和控製誤差性能（néng）提高（gāo）. NC 單元在坐標轉換前進行插補, 進一步細分離散點序列, 從理論上減（jiǎn）小了在坐標轉換過程中的非線（xiàn）性誤差[ 6] .

1 CAM 和CNC 間的雙（shuāng）NURBS 數據（jù）描述

1. 1 NURBS 曲線的表（biǎo）達和參數連續性

一（yī）條k 次NURBS 曲線可以表示為一分段有理

NURBS 曲線的參數連續性由定義域內的重複節點決定; 在定（dìng）義域內, 節點具有最高重複度為r k 次（cì）B 樣條基函數為( k- r ) 次可（kě）微的, 也就是Ck- r連（lián）續. 這導致所（suǒ）定義的k 次B 樣條曲線也是Ck- r 連續的. NU RBS 曲線可微性的完整表述為: k 次（cì）NU RBS 曲線在其定義域內的非零節點區間內部或（huò）在每一曲線段內部是無限次可微的; 在定義域內重（chóng）複度為r 的節點處則是( k- r ) 次可微的. 由此可知, NU RBS 曲線在參數連續性基礎上解決了線性插補中的段（duàn）與段的連接問題. 在通常采用的NURBS 插補中, 多采用3 次NU RBS 曲線, 以實現在一階節點重複度下能實現C2 連（lián）續.

1. 2 CAM輸出數據格（gé）式（shì）描述

刀具移動由（yóu）在工件坐標係下的兩條NU RBS 參數曲線P( u) 和（hé）Q( u) 確定:

由此五軸NURBS 插補需要的（de）刀尖點位置和刀具（jù）軸線矢量可由式( 5) 和( 8) 得到, NURBS 插補的全部信息可由P( u) 和Q( u) 表達, 因（yīn）此可（kě）以提出適合NURBS 插補的數據格式為:

G642

BSPLINE SD= 3

xt_ yt_ zt_ x h_ yh_ zh_ pl_w _

…

xt_ yt_ zt_ x h_ yh_ zh_ pl_w _

其中: G642 BSPLINE 表示NU RBS 插補模式啟動; SD 為NU RBS 曲線次數; x t_ yt_ zt_ xh_ y h_ zh_為式（shì）( 5)、( 6) 中所表示的（de）曲線的控製點; pl 為該段節點（diǎn）矢量的變化（huà）值; w 為權值. 現有的CAM 軟件中, Cat ia 支持輸出這種表達刀具路（lù）徑的數據（jù）格式（shì）. 2 實時五軸NURBS 插補過程根據前（qián）麵的分析, 本係統采（cǎi）用五（wǔ）軸雙NURBS曲線插（chā）補, 在CNC 係統中需要完成實（shí）時插補和運動學坐標（biāo）轉換2 個過程.

2. 1 恒定速度插補方法

由數據格式信（xìn）息可知, 實時插補的已知條件為: P( u) , Q( u) , 節點矢量U= [ u0 u1 , un+ k+ 1 ] ,進給速度vF 和（hé）插（chā）補周（zhōu）期T.

由於刀尖點相對於工件的速度對加工質量的影響很大, 故需要保持刀尖點速度的穩定和平滑. 對P( u) 進行插補以實現恒定的刀尖點速度:

式中, N為高階（jiē）無窮小量.在該插補算（suàn）法中, v ( t ) 即為（wéi）加工程序（xù）給定（dìng）的進給速度vF , 除起始點和終（zhōng）點的加（jiā）減（jiǎn）速（sù）階段外, 該進給速（sù）度在曲線上是恒定不變的.

實現NU RBS 插補的基本流程如圖1 所示.由插補計算（suàn）流程（chéng）可以得到u( t) 在每個插補周期節點上的參數值u( ( k+

1) T ) , 得到插補後的節點在角度處（chù）理方麵, 由於PT 和ST 采用相同的參數描述, 且都由NURBS 曲線插補生成, 能夠保證C2 連續. 因此, 在五軸（zhóu）加（jiā）工中, 能夠保證2 個轉動軸的角速度（dù）和角加速（sù）度的連續性, 從而實現機床各軸速（sù）度和加速度的平（píng）滑變化.

2. 2 運（yùn）動學上（shàng）的坐標變換

由於以上的插補計（jì）算是（shì）在工件坐標係下進（jìn）行的, 故（gù）需要進行坐標變換, 將P 和（hé）S 轉換（huàn）成在機床坐標係下的平動軸x、y、z和轉動（dòng）軸A 、B 、C. 根據文獻[ 5] 中五坐標機床的（de）運動求解: 對於每一個插補（bǔ）周期, 由刀具路（lù）徑( x t , y t , z t , Sx , S y , Sz ) 到機床移動（dòng）指（zhǐ）令( x m , y m , z m, Am , Bm ) . 其中: x t , y t , z t 為刀尖點坐標在x 、y、z 上的分量; Sx , Sy , Sz 為（wéi）刀軸矢量在x 、y、z 上的分量; Am , Bm 為對（duì）應A 和C 的旋轉軸, 本試驗機床為A、C 軸雙轉台機床, 轉（zhuǎn）動台旋轉中心在機床坐標係中的坐標為( mx , my , mz ) . 計算可得機床移動指令為:

式中: HA 和HC 可能存在2 個解, 其具體象限應按運動的連續性確定, HA 取值需要滿足行程範圍（wéi）.該插（chā）補（bǔ）方式加（jiā）入了CAM 中後處理坐標轉換的環節和NURBS 格式數據讀入和預處理環節, 要進行複雜的數學計算, 因此, 在一定的插補時（shí）間完成這些工作是該算法（fǎ）的難點.

3 仿真試驗和非（fēi）線性（xìng）誤（wù）差比較

3. 1 仿真試驗數據

圖2 所示為待加工的N URBS 曲線.

由CAM 生成5 軸雙NU RBS 曲線格式代碼為:

G642

BSPLINE SD= 3

xt0. 00000 y t0. 00000 zt- 4. 00000 x h- 7. 14046

yh6. 69709 zh- 1. 95970 pl0. 000 w 1. 000 VF 1000

…

xt21. 00000 yt0. 00000 zt0. 00000 x h29. 76081

yh- 3. 92682 zh- 1. 87237 pl0. 000 w 1. 000

共14 段.

由（yóu）Cat ia 生成的線性（xìng）插（chā）補格式代碼為:

N0010 G40 G17 G94 G90 G70

N0020 G91 G28 z 0. 0

N0040 G1 G90 x 0. 0 y0. 0 z - 4. 0 A0. 0 B0. 0

VF 250

N0050 x 0. 8488 y 0. 1356 z - 3. 5033

….

N0510 x 21. 0 y 0. 4 z - 4. 0

N0520 M02

共50 段由以上NC 代代碼（mǎ）可得, 雙NURBS 曲線數據格式與線性插補格式數（shù）據相比, 能用更少的數據表達更豐富的幾何信息, NC 文件能大幅度減小, CNC 模塊能一次（cì）讀取更多（duō）的幾何信息.

3. 2 非線性（xìng）誤差比較

該試驗參考Erdos 等[ 6] 所做的試驗（yàn）報告中（zhōng）的誤差猜測量和分析方法, 利用CAD 軟（ruǎn）件建立加工模型, 生成（chéng）兩種格式下的NC 代碼文件( 如3. 1 節所示（shì）) , 分別進行相應的插補得到一係列插補點, 然後對兩組插補點進行（háng）非線性誤差分析.

( 1) 對常規線性插補中的生（shēng）成的插補點取樣,進行非線（xiàn）性誤差分析, 由圖3( a) 可見, 該插補方式（shì）下非線性誤差較大, 最大誤差可達80 Lm.

( 2) 采用雙（shuāng）NURBS 曲線插補生成插補點, 插補周（zhōu）期2 ms, 進給速度1 m/ min, 在插補周期內平（píng）均的線性長度為1. 6 Lm. 取樣其（qí）中的插補點進行非線性誤（wù）差分析, 如圖3( b) 所示（shì）. 由圖可見, 非線性誤差在2. 5 Lm 內, 通過（guò）插補充分細分程序段後, 最大非線性誤差僅為線性插補（bǔ）的3. 125% , 說明該插補（bǔ）方（fāng）式能夠（gòu）在理論上極大地減小五軸加工（gōng）的非線性誤差（chà）.