數控係統的一個發展方向, 而五軸聯動數控機床是複雜曲麵高效加（jiā）工的最佳手段. 在常規CAM 係統輸出的五軸加工程序中, 複雜曲麵加工的刀具路徑是用小直線和圓弧近似逼（bī）近（jìn）的, 這（zhè）種近似會產生兩個（gè）問題: ¹ 為了達到加工精度的要求, CAM 係統需要生成（chéng）更加密集的小（xiǎo）直（zhí）線和圓弧擬合的曲線段, 同時相（xiàng）應表達的N C 代碼也（yě）變（biàn）得更多, 而且隨著加（jiā）工精度要求（qiú）的提高（gāo）, NC 代碼量會成倍增加. 這樣的處理方式不僅（jǐn）加重了CAD/ CAM 係統和CNC 係統的傳輸負擔, 同時（shí）也占用了過多的CN C 存儲空間. 因此, 考（kǎo）慮到（dào）加工時間（jiān）和加工（gōng）耗費, 常規插補方式效率低（dī）而且不經（jīng）濟. º 由於曲線是由小線段和圓（yuán）弧擬合而成, 會導致曲線在節點處的速度和加速度的不連續, 這樣（yàng）會導致加工過（guò）程中的進給率波動過大, 降低加工精度和表（biǎo）麵質量.

    為解決（jué）以上問題, 國內外一些學者提出采用參數化插補的方法（fǎ）代替（tì）常規線性插補. 在這種參（cān）數（shù）曲線插補（bǔ）中, 非均勻有理B 樣條( NU RBS ) 是在參數化插補中得到（dào）最廣泛應用的一種曲線表達方式. 在幾何描述上, N URBS 曲（qǔ）線能用比小線段和圓弧更少（shǎo）的數據來描述曲（qǔ）線, 因此能減少數據（jù）量, 減（jiǎn）少CAD/ CAM 和（hé）CNC 之（zhī）間的傳輸（shū）時（shí）間; NURBS 曲線的C2 參數連續保證在（zài）插補過程中進給速度和加速度的平滑. 正是基於NU RBS 曲線表達的這些優（yōu）勢,越（yuè）來越多的商用CAD/ CAM 係統及（jí）內核ACIS 與Paraso lid 都先後開發擴充了NURBS 功（gōng）能.

     現有的高檔數控係統, 例如FA NUC、MITSUBISHI 等（děng）, 也開發出了五軸N URBS 插（chā）補功能模（mó）塊. 文獻[ 1-3] 中也提出了NURBS 插補算法. 在該算法中, CAM 係統及後處理程序完成刀位點的坐標變換和五軸進給（gěi）命令輸出; 其NU RBS 功能是CAM 係統直（zhí）接（jiē）輸出在機床坐標係下由（yóu）兩條多項式曲線（xiàn）定義各軸移動指令（lìng）, 其中: 一條三維的參數曲線定義3 個平動軸（zhóu）x、y、z的運動; 一條二維的參數曲線定義轉動軸A 、B、C 的運動, 2 條（tiáo）參數曲線采用相同的控製節點序列. 然而這種（zhǒng）方法輸入的僅僅（jǐn）是（shì）機床坐標係下的（de）移動指令, 限製了插補模塊的功（gōng）能, 加工的誤差和（hé）速度控製缺乏一定的擴展性. 問題主要表現（xiàn）在:

     ( 1) 五軸加工（gōng）需要進行坐標轉換, 而在坐標轉換的過程中會存在較大（dà）的非線（xiàn）性誤差, 而非線性誤差（chà）的控製是五軸高速高精度加工的關鍵問題（tí）[ 4, 5] . ( 2) 該方法移動指令所表（biǎo）示的是刀位信息, 無法得（dé）到準確的刀尖（jiān）點的信息, 因此, 該插補方式無法控（kòng）製刀尖（jiān）點的速度恒定, 降（jiàng）低加工精度.

     為解決以上2 個問題, 本（běn）文提出一種新的五軸雙（shuāng）NURBS 曲線（xiàn）插補格式, 並提出針對該數據格（gé）式保（bǎo）持（chí）恒定進給速（sù）度（dù）的插補算法, 從理論上極大地減小了非線性誤差（chà）. 在本方法中, CAM 係統把一段理想刀位點擬合成曲線, 刀位點（diǎn）和（hé）刀具軸線矢量都是在（zài）工件坐標係（xì）下描述的. NC 單（dān）元讀入曲線（xiàn）信（xìn）息進行直接NURBS 曲線插補（bǔ）, 生成（chéng）密化數據點序列, 最後（hòu）進行坐標轉（zhuǎn）換, 生成伺服係統需要的移動指令, 實現數控加工. 在（zài）該方法中, CNC 輸入的是工件幾（jǐ）何模型的刀具路（lù）徑信息, 有更豐富的幾（jǐ）何信息便於CNC的插補模（mó）塊速度和控製誤差性能提高. NC 單（dān）元在坐（zuò）標轉（zhuǎn）換前進行插補, 進（jìn）一步細分（fèn）離散點序列, 從理論上減小了在（zài）坐標轉換過程中的非線（xiàn）性誤（wù）差[ 6] .

1 CAM 和CNC 間的雙NURBS 數據描述

    1. 1 NURBS 曲線（xiàn）的表達和參（cān）數連續性

    一條k 次NURBS 曲線可以表示（shì）為一分段有理

     NURBS 曲線的參數連續（xù）性由定義域內的重複節點決定; 在定義域內, 節點具有最高重複度為r k 次B 樣條基函數（shù）為( k- r ) 次可微的, 也就是Ck- r連（lián）續. 這導（dǎo）致所定義的k 次（cì）B 樣條曲線也是Ck- r 連（lián）續的. NU RBS 曲線可微性的完整表（biǎo）述為: k 次NU RBS 曲線在其定義域內的非零節（jiē）點區間內部或在每一曲線段內部是無限次（cì）可微的; 在（zài）定義域內（nèi）重複度為r 的節點處則是( k- r ) 次可微的. 由此可知, NU RBS 曲線在參數連續性基礎上解決了線性插（chā）補中的段與段的連接問題. 在（zài）通常采用的NURBS 插補中, 多采用3 次NU RBS 曲線, 以實現在一階節（jiē）點重複度（dù）下能實現C2 連續.

     1. 2 CAM輸出數（shù）據格式描述

     刀具移動由在工件坐（zuò）標係下的兩（liǎng）條NU RBS 參數（shù）曲線（xiàn）P( u) 和Q( u) 確定:

     由此五軸NURBS 插補需（xū）要的刀尖（jiān）點位置和刀具軸（zhóu）線矢量可（kě）由式( 5) 和( 8) 得到, NURBS 插補的全部信息可（kě）由P( u) 和Q( u) 表達, 因此可以提出適合NURBS 插補的數據格（gé）式為:

G642

BSPLINE SD= 3

xt_ yt_ zt_ x h_ yh_ zh_ pl_w _

…

xt_ yt_ zt_ x h_ yh_ zh_ pl_w _

G1

    其中: G642 BSPLINE 表示NU RBS 插補模式啟動; SD 為NU RBS 曲線次數; x t_ yt_ zt_ xh_ y h_ zh_為式( 5)、( 6) 中（zhōng）所表（biǎo）示的曲線的（de）控製點; pl 為該段節點矢量（liàng）的變化值; w 為權值. 現有的CAM 軟件中, Cat ia 支持輸出這種表達刀具路徑的數據格式. 2 實時（shí）五軸NURBS 插補過（guò）程根據前麵的分（fèn）析, 本係統采用五軸雙NURBS曲線插補, 在CNC 係統中需（xū）要完成實時插補（bǔ）和運動學坐標轉換2 個過程.

     2. 1 恒定速度插補方法

     由數據格式信息可知, 實（shí）時插補（bǔ）的（de）已知條件為: P( u) , Q( u) , 節點矢量U= [ u0 u1 , un+ k+ 1 ] ,進給速度（dù）vF 和插補周期T.

    由於刀尖（jiān）點相對於工件的速（sù）度對加工質量的影響很（hěn）大, 故（gù）需要保持刀尖點（diǎn）速度的穩定和平滑. 對P( u) 進行插（chā）補以實現恒定的（de）刀尖點速度:

     式中, N為高階無窮小量.在該插補算法中, v ( t ) 即為加工程（chéng）序給定的進給速度vF , 除起始（shǐ）點和終點的加減速（sù）階段外, 該進給（gěi）速度在曲線上是恒定不變的.

     實現NU RBS 插補的基本流程如（rú）圖1 所示.由插補計算流程可以得到u( t) 在每個插（chā）補周期節點上（shàng）的參數值u( ( k+

     1) T ) , 得到插補後的節點在角度處理方麵, 由於PT 和ST 采用相同的參數描（miáo）述, 且都由NURBS 曲（qǔ）線插補生成（chéng）, 能夠保證C2 連續. 因此, 在五軸加工中, 能夠保證2 個轉（zhuǎn）動軸的（de）角速（sù）度和角加速（sù）度的連續（xù）性（xìng）, 從而實現機床各軸速度和加速度（dù）的（de）平滑變化.

     2. 2 運動（dòng）學上的坐標變換

     由於（yú）以上的插補計算是在工件坐標係下進（jìn）行的, 故需要進行坐標變（biàn）換, 將P 和S 轉換成在機床坐標係下的平動軸x、y、z和轉動軸A 、B 、C. 根據文獻（xiàn）[ 5] 中五坐（zuò）標機床的（de）運動（dòng）求解: 對於每一個插（chā）補周期, 由刀具路徑( x t , y t , z t , Sx , S y , Sz ) 到機床移動指令( x m , y m , z m, Am , Bm ) . 其中: x t , y t , z t 為刀尖點坐標在x 、y、z 上的分量; Sx , Sy , Sz 為（wéi）刀軸矢量在x 、y、z 上（shàng）的分量; Am , Bm 為對應A 和C 的旋轉軸, 本試（shì）驗機（jī）床為A、C 軸雙轉台機床, 轉動（dòng）台旋轉中心在機（jī）床（chuáng）坐標係中的坐標為（wéi）( mx , my , mz ) . 計（jì）算可得機床移動指令為:

     式中: HA 和HC 可能存在2 個解, 其具體象（xiàng）限應按運動的連續性確定, HA 取值需要滿足行程範圍.該插（chā）補方式加入（rù）了CAM 中後處理坐標轉換的環節和（hé）NURBS 格（gé）式數據讀入和預處理環節, 要進行複雜的數學計算, 因此（cǐ）, 在（zài）一定的插（chā）補時間完成這些工作是（shì）該算法的難點.

3 仿真試驗（yàn）和非線性誤差比較

     3. 1 仿真試驗數據

     圖2 所示為待（dài）加工的（de）N URBS 曲線.

     由CAM 生成5 軸雙NU RBS 曲線格式代碼為（wéi）:

G642

BSPLINE SD= 3

xt0. 00000 y t0. 00000 zt- 4. 00000 x h- 7. 14046

yh6. 69709 zh- 1. 95970 pl0. 000 w 1. 000 VF 1000

…

xt21. 00000 yt0. 00000 zt0. 00000 x h29. 76081

yh- 3. 92682 zh- 1. 87237 pl0. 000 w 1. 000

G1

共（gòng）14 段.

     由Cat ia 生成的線性（xìng）插補格式代碼為:

N0010 G40 G17 G94 G90 G70

N0020 G91 G28 z 0. 0

N0040 G1 G90 x 0. 0 y0. 0 z - 4. 0 A0. 0 B0. 0

VF 250

N0050 x 0. 8488 y 0. 1356 z - 3. 5033

….

 N0510 x 21. 0 y 0. 4 z - 4. 0

N0520 M02

     共50 段由以上NC 代代碼可得, 雙NURBS 曲線數（shù）據格式（shì）與線性插補格（gé）式數（shù）據相比, 能用更少的數據表達更豐富的（de）幾何信息, NC 文件能大幅度減小（xiǎo）, CNC 模塊能（néng）一次讀取（qǔ）更多的幾何信息.

    3. 2 非線性誤差比較

     該試驗參考Erdos 等（děng）[ 6] 所做的試驗報告中的誤差猜測量和分析方（fāng）法, 利用CAD 軟件建立（lì）加工模型, 生成兩（liǎng）種格式下的（de）NC 代碼文件( 如3. 1 節所示) , 分別進行相（xiàng）應的插補得（dé）到一係列插補點, 然後（hòu）對兩組插補點進行非線（xiàn）性誤差分析.

     ( 1) 對（duì）常規線性插補中的生成的插補點取樣,進行非線性誤差分（fèn）析, 由圖（tú）3( a) 可見, 該插補方式下非（fēi）線性誤差（chà）較大, 最大誤差可達80 Lm.

     ( 2) 采用雙NURBS 曲線插補生成插補點, 插（chā）補周期2 ms, 進給速度1 m/ min, 在插補周期（qī）內平均的線性長（zhǎng）度為1. 6 Lm. 取樣其中的插補點進行非線性（xìng）誤（wù）差分（fèn）析, 如圖3( b) 所示. 由圖可（kě）見, 非（fēi）線性誤差在2. 5 Lm 內, 通過插補充（chōng）分細分程序段後, 最大非線性誤差僅為線性插補的3. 125% , 說（shuō）明該（gāi）插補方式能夠在理論上極大（dà）地減小五軸加工的非線性誤差.

4 結 語

     針對工件坐標係下的刀位（wèi）點的直接插補對提高五軸聯動加工的精度具有重（chóng）要意義. 雙NURBS 插補技術是發展高速（sù）、高精度五軸（zhóu）聯動（dòng）CNC 的關鍵技術, 而且NURBS 格式規範的幾何數據描述也（yě）為CAD/ CAM 和CN C 的集成提供了可（kě）能.