摘要：機械臂軌跡（jì）規劃是機器人運動規劃領（lǐng）域中至關重（chóng）要的經典研究方向（xiàng）之一。隨（suí）著機（jī）器人時代的（de）到來（lái），機械臂在工業製造中（zhōng）得到了廣泛的應用，如何更好（hǎo）的利用機（jī）械臂的運動性能，獲（huò）得運行時間較短或者消耗能量更少的運動軌跡成為人們關注的（de）重點。
    
       關鍵詞：軌跡規劃，動為學模型（xíng），時（shí）間（jiān）最（zuì）優，能量最優

        引言
 
        在最大化化器（qì）人（rén）係統的生產效率方麵，時間最優運動規劃一直是一個很重要的課題。一壟常用的求解最短時間的軌跡規劃方（fāng）法通常隻用到（dào）機器人的運動學模型，而沒有（yǒu）用到機器人的動力學模型，這樣的規劃結果往往不能充分發揮機器人的潛力。
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        結合第二章介紹的機械臂動為學模型參數辨識方法，那麽可Ｗ辨識出機械臂的動力學模（mó）型，進而使用更（gèng）為有效的基於（yú）機械臂動力學模型的軌跡規（guī）劃（huá）方法。本章采用了Ｖｅｒｓｃｈｅｕｒｅ［５６：ｉ等人提出的（de）基於凸優化求解時（shí）間最優軌跡規劃方法，並在此基礎上添加了表示能量和力矩變化率的代價函數（shù），使得規劃軌跡更加易於機械（xiè）臂的執行。
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        本章的組織結構（gòu）如（rú）下：３．２節介紹了基本基於力矩約束的時間（jiān）最優軌跡規劃問題；３．３節闡述了如何將基本時間最優問題轉化（huà）到凸優化控製問題；３．４節對此凸（tū）優化控（kòng）製問題進行拓（tuò）展，添加額外的目標函數（shù）和約束條件；３．５節介紹了此凸優化控製問題的數值解法；３．６節Ｗ六自由（yóu）度機械臂為目標進行軌跡規劃，驗證此方法的有效性。
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       ３．２基本問題描述
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       ｉｖ自由度（dù）機械臂的動（dòng）為學運動模型可Ｗ表示為如（rú）式（２．１）所示的關節力矩（jǔ）Ｔ（s） ＂關於各關節角ｇｅ巧＂的函數。事實（shí）上機（jī）械臂的軌跡規劃問題（tí）一般都是建立在己知路徑上的（de），對於關節空間中的路徑我們可Ｗ用t（ｓ）來表示，其中偽位移Ｓ是一維路爸坐標係。這個路（lù）徑坐標係（xì）是由機械臂末端在巧卡爾空間（jiān）中移動（dòng）的路徑決定的，那麽軌跡的時間約束就可表示為坐標軸Ｓ和時間t的關係（xì）式S（t)為了不失一般性，可レ乂假設軌跡起始於於t＝０，結束於（yú）t＝T並滿足s(0)＝０＜５(t)＜１＝s（t)，除此之外，由於（yú）現在考慮的是（shì）時間最優軌跡（jì）規劃及其相關問題，故對於t包含（0，T），可（kě）化（huà）為Ｓ（t）的上的毎一點都符合s（t）＞〇，並且在Ｓ（t）上的絕大多（duō）數點上都符合s（t）＞０。同時，對於給定的（de）關（guān）節空間中的路徑（jìng）ｇ（ｓ），關節的速度和加速度可Ｗ通過鏈式法則推導得到：
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       那麽基於為矩約東的（de）時間最優軌跡規劃可用數學表達式來據述：

      
  
      
       
  
        基本時間（jiān）最優問題（tí）到（dào）巧優化控製問題的變換
 
       對式（shì）口．７）這樣形式的非（fēi）線性約束下的目標函數，是（shì）無法直接看出所得到的局部最優解是否就是全局最優解。而在ＳｈｍｅｒｆＷ這篇文章中，針對時間能量最優運動規劃問（wèn）題將式貨７）進行了特殊非線性（xìng）變換，令其轉化為一個受（shòu）非線性狀態控製約束，並包（bāo）含線性係統動為學模型、狀態微分和（hé）控製輸入的最優控製問題，同時證明了相對於控製輸入的漢密爾頓函數是曲函數，進而（ér）可（kě）レ乂證明（míng）擁有這種結構的問題的局部最優解就是全局最優解，因此本文也對式（３．７）的一些變量的進行非線性變換。
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      首先（xiān），通過將原（yuán）來得積分變量＾變換為５，此時目（mù）標函數變為（wéi）
  
     
  
    
  
      因此式巧．７）描述的問（wèn）題可（kě）１＾＾被重構（gòu）為一個凸問題（tí）
 
     
  
      式（shì）（３．１４）所描述的問題是田問題是（shì）因為所有的約束都是線性（xìng）的，而目標函數是凸（tū）函數。
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      這個問題可Ｗ認為是（shì）代（dài）數微分形式的最優控製問題，它有著偽時間變量５，控製輸入ａ（ｓ），狀（zhuàng）態微分６（３），代數形式的狀態ｒ（ｓ），線性係統的動態特性ｂ＇（ｓ）＝２ａ（ｓ）和與（yǔ）線性（xìng）狀態相（xiàng）關的約東條件，Ｗ及初始狀態和終止狀態的約束 條件。
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     可以看到式（３．１４）僅僅（jǐn）隻（zhī）有一個（gè）微分狀態，而代數形式的狀態（tài）可通過（guò）Ｔ（ｓ）＝ｍ（ｓ）ａ（ｓ）＋ｃ（ｓ）６（ｓ）＋ｇ（ｓ）消除，並且表示時間（jiān）的變量ｔ不再顯式的出現在方程中。這種問題重構（gòu）形式最大的（de）價值在於（yú）：首（shǒu）先其目標函數和約宋都轉變為了（le）凸函數，所求得的局部最優解（jiě）即為全局最優解；其次，可Ｗ很容易的添加
目標函數和（hé）不等式約束，而不改變整個最優化控製問題的凸（tū）性，這將在下麵的章節中進行討論；最後，利（lì）用數（shù）值方法可Ｗ非常有效的對這種表巧形式進行求解。
 
     ３．４擴展的西優化控（kòng）製問題
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     在３．４．１節中介（jiè）紹（shào）一些實用的（de）約束（shù）條件（jiàn），在（zài）３．４．２節中本文提出（chū）了額外的目標函數，這些目標函數的（de）增加是（shì）為了使得規劃出來的軌跡為矩變化較小，更（gèng）加易於實際機械臂（bì）的執行（háng），最後在３．４．３節中將（jiāng）這些目標函數和約宋結合起來，得到一個更加一般但仍能保（bǎo）持凸特性的最優化控製問題。
 
 
      ３．４．１其他不等式約束
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      除了各關節為矩約束，還有（yǒu）其他一些（xiē）很有用（yòng）的約束。
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     １．速度（dù）約束：一些特別的任務中可能要求加入速度限製，此時可Ｗ在第ｉ個（gè）關節上施加對稱（chēng）的最小速度約束－和最大速度約束亮（５），其具體表達式如下所示：
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     加速（sù）度約束和速度約束類似，化（huà）可ｗ被應用在（zài）笛卡爾空間中的加速度分量上（shàng），而不管是（shì）作用在關節空間中的加速度約宋還是作用在笛卡爾空間中的加速度約束都可Ｗ被（bèi）寫（xiě）成一個統一（yī）的形式：
  
    
 
     ３．４．２目標函數優（yōu）化
 
     由於時間最（zuì）優軌（guǐ）跡通常有著ｂａｎｇ－ｂａｎｇ特性，並不易於機械（xiè）臂的執行。所Ｗ本文在這個基於凸（tū）優化的問題框（kuàng）架中添加一些其它（tā）目標函數，從而得到一條更加理想的、考慮（lǜ）其它準則的時間最優運（yùn）動軌跡。
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     １．能量消（xiāo）耗（hào）：
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     第關節力矩的平方關於（yú）時間的積分可（kě）Ｗ表示為：
 
    
  
     這個（gè）目標函（hán）數表示的是（shì）驅動第ｉ個關節運動所（suǒ）消耗的能（néng）量，並且此函數是凸函數。
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     ２．為（wéi）矩變化率絕對值（zhí）的積分：
  
    
  
     因為Ｎ是關於Ｅ的巧函（hán）數，所（suǒ）Ｗ式（３．２巧表示的目標函數也是凸函數。雖然這樣的目標函數並沒有（yǒu）比較直觀的物（wù）理解（jiě）釋，但（dàn）是在最終的目（mù）標函數中包含這項可Ｗ減小關節為矩的變化率。
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     ３．４．３廣義的時間最優問題
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     結合式口．７），式（３．２２）和式口．２３）所表示的目標函數與式（shì）（３．７），式口．１９）和式口．２１）所表示的巧（qiǎo）宋項，可Ｗ得到一個廣義（yì）的廣義最優控製問題
  
    
  
     由於這個表適式中的目標函（hán）數和不等式約束都是凸的，而等式約束（shù）是線性的，所上述廣義時間最優問題還是凸（tū）的。
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     ３．５數值計算
 

  
     由於式（３．２９）描述的問題為凸，所Ｌ乂（ài）任（rèn）何局部最優解也是全局最優的。因此可Ｗ任意選取一個非線性求解器來求解這個問題。本（běn）文采用的（de）是ｍａｔｌ油（yóu）中的ＹＡＬＭＩＰ王具箱進行求解，這是一種可（kě）Ｗ求解高（gāo）級優化問題工具箱，並且有多種求解器可供選擇（zé）。一旦求解出變量護的值，則可通過束解＊（ｓ）得到表示路（lù）徑坐標軸和時間的關係式Ｓ的，而＊（ｓ）的表達式如下所示：
  
     
  
     ３．６實驗與分析
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     本節在ＡＢＢ六軸（zhóu）工業機器人（rén）ＩＲＢ１２０上（如困（kùn）３．４所示）實現基於（yú）凸優化的時間最（zuì）優軌跡規劃，３．６．１節介紹（shào）了實驗任務和目標路徑，３．６．２節（jiē）說明了實驗結果（guǒ）。
  
    
  
     ３．６．１實驗任務說明
   
     本實驗是用ＩＲＢ１２０六軸工業機械臂執行複雜的書寫（xiě）任務，書寫任務為在水平（píng）麵上寫出＂ＺＪＵ＂字樣（如圖３．５所示），書寫（xiě）要求（qiú）是盡可能快的完成這一任（rèn）務。
  
     
  
     為了實現基於動力學模型的最（zuì）優時間軌跡規劃，需要知道ＩＲＢ１２０六軸工業機（jī）械臂（bì）的動為（wéi）學模型參（cān）數，由於本實驗室的ＩＲＢ１２０機械臂缺（quē）芝參數辨識的條件（這在上一章有（yǒu）所介紹），故此處軌跡規（guī）劃使用的機械臂（bì）動（dòng）力學模型參數（shù）是（shì）由ＡＢＢ麽司提供的。
 
     ３．６．２實驗結果
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     根據３．５小節提出的數值計算方法，可得到完成書寫’’ＺＪＵ＂任務的最短時間為６．４巧。如圖３．６所示的是完成這一任務的機械臂六個（gè）自由度關節的驅動力矩曲線，可看到在任意一個時刻都有一個（gè）關節（jiē）的驅動為矩是處於滿負荷運行的，由於（yú）第一關節（jiē）總是（shì）承受這絕大部分的重力作用，所Ｗ其很多時間都是（shì）處於最大力矩（jǔ）控（kòng）製狀態是可Ｗ理解的。圖３．８表示的是時（shí）間最優軌（guǐ）跡規劃對應的（de）位置和速（sù）度曲線，由速（sù）度（dù）曲線可（kě）レ乂看出規劃軌跡速度在很多地方都有尖角，這也符合控製為（wéi）矩的突變。
  
     
  
    
  
     可（kě）見單純的時間最優軌跡規劃力矩變化十分（fèn）劇烈，這（zhè）種軌跡的執行會造成機械臂很大（dà）的負擔，並且在實際的機械臂上也是很難實現的（de），本章在（zài）凸（tū）優（yōu）化（huà）框架基礎上加入的代表能量消耗的目標函數和代表為矩變化率的目標函數（shù）就是為了解決這一問題。圖３．９表示的（de）是考（kǎo）慮運動時間和（hé）能量消耗時的軌跡規劃結果，可Ｗ看到運（yùn）動的時（shí）間增大到１８．３ｓ而運（yùn）動過程中各關節最大輸出為矩顯著減小，同時根據式（３．２４）可Ｗ通過增大Ａｉ的取值使得規劃出的軌跡（jì）的能量消耗變小（xiǎo）。圖３．１０表示的是（shì）考慮運動時間和為矩變（biàn）化率的軌跡規劃結果，可Ｗ看到運動的時間增（zēng）大到（dào）７．２ｓ而各關節力矩變化率降低了，同時根據式（３．２４）可Ｗ通過增大乂２的取值使得規劃出的軌跡的力矩變化率進一步減小。
  
    
  
     
  
     由於六自由度機械臂ＩＲＢ１２０並沒有提供力矩輸（shū）入的接口，本次實驗規劃出來的軌跡沒有在實際機械臂上運行，然而（ér）軌跡規（guī）劃的運動（dòng）軌跡符合機械（xiè）臂動為學橫（héng）型等一係列約束條件，故可認為規劃結果在實際機械臂上化是可行的。
  
    
  
     ３、 本章小結
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     本章介紹了用凸優化（huà）方法（fǎ）求解（jiě）時間最優軌跡規劃問題，拓展了（le）優化的（de）目標函數，考慮能量消耗和各關節為矩的變（biàn）化率，使得得到（dào）的軌跡（jì）更（gèng）加平滑，易於（yú）機械臂的實現。最（zuì）後針（zhēn）對六自由度機械臂ＩＲＢ１２０進行了最優軌跡的規劃，驗證了算法的有（yǒu）效性。