螺紋（wén）數控（kòng）修複車床主軸部件動態特性分析（上）
2017-4-7 來（lái）源（yuán）：沈陽工業大學 作者：肖磊
摘要：隨著機床設計技術的快速發展，人們對機（jī）床的加（jiā）工性能提出了（le）更高的要求。螺紋修複車床廣泛應用於石油鑽井行業，其主軸部件的動態特性直接影（yǐng）響工件的加工精度，本文主要對現有的一款螺紋（wén）數控修複車床主（zhǔ）軸部件的（de）動態特（tè）性進行分析研究，為進一步提高其（qí）加工性能打下基礎。
首先，本文（wén）總結（jié）了機床動態特性設計方法和機（jī）床主軸部件動態特性方麵國內外的發展狀況（kuàng）和發（fā）展（zhǎn）趨勢，介紹了有限元模（mó）態分析理論（lùn）在機械結構動（dòng）態特性研究方麵的應用。其次，利用有限元法對現有的螺紋數控修複車床主軸部件進行動態（tài）特性分析。在分析其主軸動態特性時，考慮到軸承支撐剛度對其（qí）動（dòng）態特性的重要影響，利用軸承剛度的（de）計算公式，計算出了該車床主軸所采用的軸承支撐剛度。采用有限元（yuán）法分別分（fèn）析了主軸在（zài）自由狀態下和考慮軸承彈性（xìng）支撐狀態下的動態特性和動態響應情況，得到了主軸（zhóu）的固有頻率、響應形變及臨界轉速，證明了主（zhǔ）軸（zhóu）結構不會發生共振情況。再次，利用錘擊法對主軸進行動態試驗分析，測試了主軸（zhóu）在自由狀態下的固有頻率和振型以及在裝配條件下的一階固有（yǒu）頻率，主（zhǔ）軸自由狀態下的固有頻率及振型同（tóng）有限元（yuán）分析結果幾乎（hū）相同，裝配條件下的固有頻率（lǜ）同有限元分析結果存在（zài）較大誤差（chà）。最後，分析誤差產生原因，並以主軸裝（zhuāng）配條件下的固有頻率為基礎，調整軸承剛度，分別（bié）研究軸承剛度、支撐跨距及主軸徑向尺寸對主軸動態特性有何影響，對主軸結（jié）構進行優化設計。
課題研究結果表明，利用有限元法在設計初期能夠（gòu）相對準確預測機械結構的動態特性（xìng），為優化（huà）設計結構提供理論依據，是（shì）實際（jì）工程中一種較為（wéi）有效可行的設（shè）計方法。
關鍵詞：主軸部件，動態特性，有限元分析，動態（tài）試驗
第 1 章 緒論
1.1 課題的來源和（hé）背景
製（zhì）造業直接體現了一個國家的生產力水平，在國（guó）民經濟中占有很大比例的份額，極大（dà）程度地（dì）推動了國民經濟的發展，通常（cháng）世界（jiè）上發達國家都擁（yōng）有（yǒu）著非常先進的（de）製造業水平[1]。數控機床集中先進製造技術和製造信息於一體，是裝備製（zhì）造業（yè）中的重要設備，更是發展製（zhì）造業以及整（zhěng）個工業不可或缺的高端生產設備，關係到國家的經濟建設與戰略地位，決定了一個國家（jiā）製（zhì）造業水平的高低[2]。當今世界，隨著科學（xué）技術的飛速發展，各行各業技術水平不（bú）斷提高，生產設備（bèi）不斷更新換代，製（zhì）造業更是麵臨著升級與轉型的嚴峻挑戰（zhàn）與巨大機遇。
目前，世界範圍內數控機床的發展逐漸體現出高速度、高精度、高柔性和高自動（dòng）化的發展特征3]。這就對機（jī）床的結構設（shè）計提出了很高的要求，在設計時除（chú）了要考慮合理布（bù）置機床的各個係統，還需盡可能的提（tí）高機床關鍵部件（jiàn）的動態性能。機床的動態性能包括機床在工作過程中的振動及由此引起的噪聲和熱變形（xíng）等情（qíng）況，對於大部（bù）分數控機床來說，其切削過程中的抗振性和穩定性是（shì）用戶重點關注的問（wèn）題之（zhī）一，因此對於機（jī）床（chuáng）動態特性（xìng）方（fāng）麵的研究越（yuè）來越（yuè）受到重視。動態設計是指在（zài）零件（jiàn）圖紙設計階段對機械結構和係統進行預測和優化，運用動態分析（xī）理（lǐ）論和技術，利用計算機（jī）技術對機械（xiè）結構（gòu）的動態特性進行分析、預測（cè）與改進設計[4]
。
隨著有限元技術及（jí）動態試驗技術（shù）的不斷發展，人們逐（zhú）漸打破了先前經驗模擬（nǐ）設計方法，提出並發展了動態分析（xī）和設（shè）計的新技術，從而實現了在設計階段就對機械結構進行動態特（tè）性分析，及時發現在結構設計中（zhōng）存在的不足，避免產品試製出來後再進行局部補救，提高了（le）產（chǎn）品（pǐn）的設計質量和縮短了設計周期，增強了企業的競（jìng）爭力
5]。
1.2 課題的提出
鑽鋌、鑽杆是鑽柱的重要組成部分，廣泛應用於石（shí）油鑽井行業中，隨著石油行業的不斷發展，鑽鋌與鑽杆的需求量不（bú）斷遞增。鑽鋌與鑽杆主要通過管螺紋連接，在實際工作中，負責連接的螺紋（wén）受到多種外部附加載荷，同時（shí）由於鑽井時鑽鋌及鑽杆受到較大（dà）的作用力，工作溫度較高，此外（wài），高壓泥漿還會對其造成較大衝擊，多（duō）種影響因素會使連接螺（luó）紋的牙型極易發生磨損、變形和（hé）部（bù）分損壞，導（dǎo）致（zhì）鑽鋌（dìng）及鑽杆（gǎn）整體報廢失效[6]。目前，針對報廢失效的鑽鋌（dìng）及鑽杆，國內石油鑽井行業普遍對其進行螺（luó）紋修複（fù）工作，即對（duì）跟蹤鑽鋌及鑽（zuàn）杆兩端的螺（luó）紋同時根據原有螺（luó）紋牙型的軌跡進行車削修複工作，通過此（cǐ）方法，不但提高（gāo）了（le）加工效率，也極大地避免（miǎn）了（le）材料的浪費。
本課題的研究對象（xiàng）是現有一款螺紋數控修複車床，該（gāi）車床（chuáng）是為石油和地質（zhì）行業等（děng）管具公司的鑽具螺紋車削（xuē）修複工作而專門設計生（shēng）產的現代化自動車床。但在其車（chē）削修複螺紋過程中，螺（luó）紋表（biǎo）麵出現了連續不斷的振紋，如圖 1.1 所示。通過（guò）車（chē）削一圈螺紋（wén）出現的振紋數量及車削速度，可以得到出現振紋的（de）共振頻率為 733Hz。經分析，出現這種情況的原因可能是車床在車削螺紋過程中發生了共振情況，在車床工作過程（chéng）中有很多振源，包括車床的主軸係統，刀架，進給係統及床（chuáng）身本體等，若其中（zhōng）任一係統結構的振動頻（pín）率接近上述出現振（zhèn）紋時的頻率，則該部分結構就是車削修（xiū）複螺紋時出（chū）現振紋的原因。
圖 1.1 車床（chuáng）切削圖
由（yóu）於篇幅有限，本課題針對該螺紋（wén）修複（fù）車床的主軸係統進行研究，利用有限元法及試驗分析法對該車床（chuáng）的主軸係統進行動態特性分析，研（yán）究主軸係統是否為產生振（zhèn）紋的原因，並考慮軸（zhóu）承的支撐剛度（dù）、主軸的徑向尺寸（cùn）、支撐跨距等對主軸動態特性的影響，找到影響規律，並對主軸進行結構優（yōu）化設計（jì），從而提高主軸係統的（de）動態性能。
1.3 機床主軸動態特性的研究現狀
由於機械結構的動態特性對數控機床的加工精度有十分重要的影響，所以從上世紀 60 年代開始，人們便開始著手對機（jī）床的動態特性進行研究，研究內容包含結合麵剛度和阻尼機（jī）理、參（cān）數（shù）識（shí）別、動力學（xué）分析、機械結構係統建（jiàn）模及動態特性影響等諸（zhū）多（duō）方麵[7]。通過幾十年科技的進步和經（jīng）驗的積累，人們對影響機床動態特性的各方麵因素進行了大量（liàng）研究，並取（qǔ）得了相應的研究成果[8]。隨著人們對機床加工性（xìng）能的要求（qiú）越來越高，對機床（chuáng）本身重要部件的動態性能也是一種極大考驗，主軸部件是機床加工過程（chéng）中的重要部件，所以對其動態性能的要求也越來越高。機床主軸部件的動態特性（xìng）主要包括主軸的（de）固有頻（pín）率、臨（lín）界轉速和振（zhèn）型等，對主（zhǔ）軸部件進行動態特性分析，一般是研究主軸回轉工作時隨之而產生的振動、噪聲和熱變形等，目前主要是把振動分析結果作為衡量主軸動態性能優（yōu）劣的重要參考指標。隨著科學技術的發展，動態特性的研究方法取得了很多重要成果，目前，對機床主軸動（dòng）態特性的研究方法主要有傳遞矩陣法，有限元法、影響係數法等[]。
1.3.1 國外的研究（jiū）現（xiàn）狀
國（guó）外在機械結構動態設（shè）計方麵的研究起步較早，在上世紀（jì） 50 年代便已經開始對機床主軸進行動態（tài）特性分析。經過幾十年的技術發展，國外的（de）研究方法從最初的解析法、近（jìn）似理論法等傳統研究方法逐漸轉變到利用計算機進行計算（suàn）分析的層次。對於主軸係統的動態性能，國外（wài）學者做（zuò）了大（dà）量研究。1964 年，Bollinger 采用有限元法對車床主軸模型進（jìn）行建模，並利用一個簡單的徑向彈簧和阻（zǔ）尼器來模擬軸（zhóu）承的約束（shù）條件，對主軸部件進（jìn）行了動態分析[10]；Walford 在（zài）主軸係統發（fā）生共振的前提（tí）下，測量了軸承（chéng）的支撐剛（gāng）度，並考慮（lǜ）軸（zhóu）承剛度的對係統的（de）影響，研究了主軸動態特性隨其支撐剛度的變化[11，12]；1985 年 Red 和 Sharna 通過有限（xiàn）元分析軟件建立車床主（zhǔ）軸（zhóu）模型並對其進行（háng）動態特性分（fèn）析及設計[13]；1988 年 Sdaeghipo 對主軸係統進行動力（lì）學特性分析研究，並將動柔度分析考慮其中，進行（háng）了（le）係統全麵的研究[14]；S.Tayla 等（děng）人利用有限元方（fāng）法創建了具有交互界（jiè）麵的計算機（jī）程序，並利用該程序改良優化機床主軸剛度。該程序通過 IBM PC 運行，在運行過程中研（yán）究了主軸結構、預加載荷（hé）的大小和（hé）形式、支撐係統以及軸（zhóu）直徑，但是在設計過程中忽略了主軸（zhóu）高速運轉下的特性，對於分析轉（zhuǎn）速較高（gāo）的主軸具有一定的局限（xiàn）性[15]；Velagala、R.Reddy 等人對車床主軸進行有限元建模，以加工工件的最大（dà）、最小形變為設計依據，通過調整軸承間隙與支撐剛度，工件尺寸和外部阻尼（ní）器位置的具體參（cān）數，對主軸進行靜、動力（lì）學分析，同時（shí）在分析過程中采用（yòng）矩陣簡化法來縮短分（fèn）析時間[16]；
A.M.Sharan 分析了（le）車床主（zhǔ）軸的自由振動特性，重點分析了（le）主軸端部在多種外加載荷下的動態特（tè）性，並考慮了軸承（chéng）支撐剛度對其的約束（shù）條件，同時忽略阻尼對結果的影響，計（jì）算出了此時主軸的固有頻率和振型；通過試驗分析法對主軸進行分析研究，並將兩種方法得到（dào）的（de）結果進行比較分（fèn）析[17]；G.Bianchi 和同事一起將控製理論應用（yòng）到結構的動力學分析中（zhōng），對機床主軸進行了（le）靜、動態特性分析及（jí）優化改進[18]；K.W.Wang、C.H.Chen 係統（tǒng）分析了高速主軸（zhóu）與支撐軸承之間動力學特性的影響關係，發現（xiàn）了主軸在（zài）高速旋轉過程中軸（zhóu）承（chéng）的支撐剛度與轉速成反比關係，從而（ér）降低主軸的動力學性能[19]。
綜合上述文獻可以了解到國外在機床主軸動態特性方（fāng）麵的研究的確具有很（hěn）多先進的經驗值得我們借鑒參考。國外專家綜合考慮了多方麵影響主軸在工作過程動態性能的因素並加以分析研（yán）究，得出的相對（duì）準確的結（jié）論對機（jī）床的（de）整個設計工作具有十分重要的（de）指導作用。
1.3.2 國內的研究現狀
國內針對機（jī）械結構動力學的研究起步較晚，直到（dào）上世紀 90 年代動力學分（fèn）析才逐漸被（bèi）應用到機床研究設計領域當中。楊家華等利用有限元法對主軸係統建模並分析了係統的動態特性，同時利用實驗設備對實際主軸係統進（jìn）行了試驗動態特性分析，通過比較二者分析結果證明了有限元法（fǎ）分析（xī）主軸動態特性的可（kě）行性[20，21]；肖曙紅綜合了有限元分析方法與（yǔ）迭代分析（xī）法，開發出了（le）分（fèn）析軟件 SAAS，通過此軟件能夠（gòu）直接對主軸係統進行（háng）靜、動態特性進行分析（xī）[22]；韓西等運用有限元分析法，建立了臥式鏜床的主軸係統的（de）有限元模型，並利用瞬態脈衝激振的（de）方式對其進行（háng）動態試（shì）驗（yàn）分析並（bìng）采集激振參數，通過參數識別的（de）方式對所得數據進行識別處理，從而（ér）獲得（dé）主軸係統的固有頻率和振型，最後利用此（cǐ）方法對結合麵進行分析研究[23]；茅啟園在分析主軸係統動力學（xué）特性時，考慮了軸承靜剛（gāng）度對其的影響，先利用有限元法對（duì）軸承進行了靜力學分析，獲（huò）得了軸承剛度的特性（xìng）曲線，同時以此為基（jī）礎分析了主軸在適當軸承剛度約束條件下的動力學特性，並優（yōu）化改良了主軸結構[24]；張彩芬通過切削試（shì）驗（yàn）識別主軸部件的主（zhǔ）要薄弱環節，同時對機床主軸部（bù）件進行了動力學理論分析，並（bìng）與實驗結果進行比較分析（xī）[25]；宋（sòng）宇曉運（yùn）用（yòng）當量直徑法推導出了數（shù）控銑床（chuáng）主軸的一階固有頻率（lǜ），同（tóng）時利用有限元法分析了（le）主軸在不同條件下的動態（tài）特性，最後（hòu）對銑床主軸部件進行了動態試驗分析，並對上述工作獲（huò）得結果進行分析比較，最後對主軸係統進（jìn）行（háng）優化改良[26]。
通過查閱大量文獻資料可以得出這樣一個結（jié）論，國內學者在機（jī）床主軸結構設計上（shàng）與國外還存在一定差距，對主軸（zhóu）動態性能的研究還停留在分析動（dòng）態特性並與試驗結（jié）果相比較的原始階段，對於影響主軸動態特性的諸多因素的分析以及（jí）對分析結果如何處理還沒有明確的方案。所以我們需要以這一情況為切入點，對影響主軸動態特性（xìng）的各方麵因（yīn）素（sù）進行分析討論，並研究主軸的動（dòng）態性能在具體影（yǐng）響因素改變時如何變化。
1.4 課題研究的內容和方法
本課題主要工作（zuò）包括：
（1）初步了（le）解國內外對主（zhǔ）軸動態（tài）性能研究的概況，明確本課題研（yán）究（jiū）重點。
（2）學習機床結構有限元模態分析理論，了解機械振動的基礎理論知識，掌握利用有限元模態分析實現對機械結構模態分析（xī）的（de）方法，為後續主軸動態性能分析研究提供理論依（yī）據基（jī）礎。
（3）建立機床主軸部件（jiàn）模型。在合理運算誤（wù）差的範圍內簡（jiǎn）化主軸部件的結構，借助三維建模軟件對數控螺紋修複車（chē）床主軸係統的簡化結構進行建模，將其導（dǎo）入到有限元分析軟件中得到主軸係統零部件的有限元（yuán）模型。
（4）利用有限元（yuán）分析軟件對機床主軸係統的進行動態性能分析。對已建（jiàn）立的有限元模型進行模態分析，諧響（xiǎng）應分析，得到主軸具體的動（dòng）態特（tè）性數據。
（5）對機床主軸的進行（háng）動態試驗分析。采用大錘對該機床主軸進行激振，由此獲得主軸的固有頻率及（jí）振型，並就得到的（de）試驗結果與有限元分析結果進行比（bǐ）較分析。
（6）對機床主軸係統進行結構（gòu）優化設計。依據上述分析（xī）結果，找到主軸結構中（zhōng）存在的不足之處。以主軸為優化對象，利（lì）用有限元分析軟件進行有限元模態分析，考察主軸在軸承支撐剛度不同、支撐跨距不同以及徑向尺寸不同時其動態特性的變化規律，並據此優化主軸，綜合提高主軸的動（dòng）力學特性。
1.5 課題研究目的及（jí）意（yì）義
本文（wén）研究的螺紋數控（kòng）修複車（chē）床是具備了高精度、高自動（dòng）化的石油相關行業的特種（zhǒng）車床（chuáng），其主要任務是切削修複鑽杆、鑽鋌等鑽具（jù）的螺（luó）紋表麵，對其加工精度具有較（jiào）高要（yào）求。而在加工零件時機床的主運動是主軸的旋轉運動，主軸動態特性的好壞對加工零件的表麵質量，機床的加工質量和加（jiā）工（gōng）效率（lǜ）有直接的影響，所以分析機床主軸（zhóu）部件的動力學特性，對於提高（gāo）數控（kòng）機床的加工性（xìng）能具有十分重要的現實意義。
隨著科學技（jì）術（shù）的發展，利用有（yǒu）限（xiàn）元分析理論對機械結（jié）構進行分析並（bìng）指導結構設（shè）計越來越多的應用（yòng）到了機械工程領域中。本課題就針對該螺紋數控修（xiū）複車床車削螺紋時出現振紋這一情況，利用有限元分析法對該車床的主軸係統進行（háng）動態性能分析，討論主軸係統是否為引起車削（xuē）振動的原因，研究主軸動（dòng）態性能隨其他影響（xiǎng）其動（dòng）態性能因素變化的（de）規律，同時與實際動態試驗結果進行（háng）比較分（fèn）析，並對其結構進行優化設計，提高（gāo）主軸固有頻率，增強係（xì）統的抗振性，提高（gāo）機床的加工性能。
第 2 章 機床結構有限元（yuán）分析理論
設計人員（yuán）對處理機械結構動力學特征方法的研究始於 20 世紀 60 年代，由於計算機技（jì）術不斷進步，有限（xiàn）元法逐漸（jiàn）發展起來，從國內外（wài）對機械結構動力學特性的研究情況來（lái）看，有限元法如今已成為設計人員研究機（jī）械結構動態特性的重要手（shǒu）段之一。有限元法實質上是（shì）一種離散化方法，它（tā）綜合了部分差值（zhí）、變分原理、矩陣理論和彈性力學的理（lǐ）論，是通過數學方法（fǎ）處理結構力學和彈性力學領域問題的一種方法（fǎ）[27]。
2.1 常見的有限元單元
有限元法實質是一種近似的（de）數值解法，以數學及物理問題（tí）為研（yán）究對象，通過計算機（jī）技術求解上（shàng）述問題。利用（yòng）有限元法建立機（jī）械結構的動力學模型，其基本原理和方（fāng）法包括：離散結構，分析單（dān）元特性，組集單（dān）元，以及處理邊界約束條件（jiàn）等[28]。它的首要任務（wù）就是將連續的機械結構（gòu）離散化，並將其考慮分解成一定數（shù）目的個體單元。在對不同機械結（jié）構進行動力學分（fèn）析時，有限元分（fèn）析法為我（wǒ）們提供適應各種不同類型的（de）單元類型，從而簡化（huà）分析過程，提高計（jì）算機的求解效率。在實際工程中（zhōng）經常用到的單元包括下麵（miàn）幾種：
（1）杆狀單元
杆狀單元通常包括杆單元和梁單元，二者皆（jiē）屬於一維（wéi）單元，在分析長寬比例很大的機械結構，如細長軸、杆件等結構時，通常選用這類單元，空間梁單元的模型如圖2.1 所示。
圖 2.1 梁單元（yuán）模型
空間（jiān）梁單元是在平麵（miàn）梁單元的基礎上發展而來，其單元（yuán）的力學模型為：
（2）薄板單元
對長寬比例（lì）極小（xiǎo）的結構，可以將其（qí）視為（wéi）二維結構，利用平麵二（èr）維坐（zuò）標係建立相應的數學函數即可（kě）表達單元的位移分布規律（lǜ）。通常（cháng）這類單元可用（yòng）平麵單元、彎曲單元和薄板單元表（biǎo）示，薄板單元的（de）模型如圖（tú） 2.2 所示。
圖 2.2 薄板單元
（3）多麵體單元
對於一些結構複雜的機械零件（jiàn），應選取多麵體單元進行分析，通常包括四（sì）麵體單元和六麵體單元（yuán）兩種，它們都是空間三維單元。以六麵體單元為（wéi）例，它共有八個節點，並且每個節點有三個自由度，其（qí）空間（jiān）模型如圖 2.3 所示。
圖 2.3 八節點六麵體單元
本（běn）課題的研究對象為螺紋數控修複車床的主軸部分為階梯軸，若選取杆單（dān）元進行（háng）單元劃分，因其各部分軸段直徑不同，在劃分時需要對每部分輸入（rù）不同參數值，為了減輕工作量，本課題選取六麵體單元對其進行結構劃分。
2.2 單元的動力學模型
對係統進行建模分析是機械結構動態分析的（de）起始部（bù）分，其實質就（jiù）是利用數學方法如運動方程和（hé）振動方程，對研究對象的基本物理定理進行建模描述。常（cháng）用的建模（mó）方法主要有:有限元法、傳遞矩陣法（fǎ）、試驗模態分析建（jiàn）模法及結構動（dòng）力學混合建模[30]。
有限元法實質是一種近似的數值解法，它的基本思想是將連續的機械結（jié）構離散化，並將其考慮分解成一定數目的個體（tǐ）單元，同時將單元的位移向量變化情況用簡單的數學函數來描（miáo）述（shù），單元之間通過有限個節點相連接，並（bìng）在節點處附加節點力以表示單元之間的（de）相互作用力，依據彈性力學的變分理論，建立節（jiē）點力與（yǔ）位移（速度、加速度）之間的關係（質量、阻尼和剛度矩陣），最後聯合所有單元之間（jiān）的（de）數學（xué）關係，就得到了係統的動力學方（fāng）程，即式（shì）（2.7）所示:
式（2.23）就是利用有限元方法計算得出的單元係統（tǒng）動力學模型的一般表達式，從中可以看出係統的質量、阻尼和剛度特征直接影響整個係統的動力學特性。
2.3 機械結構的動力學模型
由有限元建模法我們得到了單元係（xì）統的動力學方程，利用數學方法可以將（jiāng）單元的動力學（xué）方程轉化成機械結構的動力學方程，其主要思想就是利用坐標變換將單元係統轉化成具體的機械結構（gòu）。假設單元的質量矩（jǔ）陣、阻尼矩陣（zhèn）是在局部坐標係中建立的，第一（yī）步要對其進行（háng）坐標變化，根據局部（bù）坐標係和全局（jú）坐標係節點位移的變換關係（xì），引入單元坐標變化矩陣 T ，可以得出（chū）單元質（zhì）量矩陣在全局坐標係下的表達式為
2.4 模態分析基本理（lǐ）論
模態分析是動（dòng）力學分析中（zhōng）的重要環節，由其可以（yǐ）計算得到機械（xiè）結構的固有（yǒu）頻（pín）率和振型，同時瞬態動力學（xué）分析、諧響應分析和譜分析等動力（lì）學分析也是在其基礎上進行的[31]。所以，對主軸部（bù）件進行模態分析（xī）計算出其各階振動模態，是研究主軸係統的動態特性的首要任務。由（yóu）上述分析可知（zhī），機械結構的模態特性（xìng）屬於其自身固（gù）有屬性，並得（dé）到了其（qí）動態特性方程，因（yīn）此可以對其進行求（qiú）解以（yǐ）得（dé）到具體數值。模（mó）態（tài）分析過程是利用數學方（fāng）法，通過坐標變化求出係統固有頻率。它的原理是將在物理係統表（biǎo）示的（de）響應向量利用設立的“模態坐標係統”來（lái）表示，振動係統的特征向量即為該坐標係統中的基向量[32]。當忽略阻尼（ní）對機械（xiè）結構的（de）影響時，主軸振動模態的方程如式（2.29）所示：
結構係統在此狀態頻率下發生振動時不同自由度振幅大小（xiǎo）的相對比例關係以及它們之間（jiān）存在的相位關係。當係統受到外部激振力激勵而產生（shēng）振（zhèn）動時，振（zhèn）幅的大小（xiǎo）是隨著激振力的變化而變化的，沒有固定的數值，但係統（tǒng）整體的振動形態會保持不變。
2.5 本章小結
本章介紹了有限元的理（lǐ）論（lùn）基礎，為有限元（yuán）動（dòng）力學建模法提供理論指導。列出了有限元分析中常用的單元類型，並根據課題實際（jì）情況，選取八節點六麵體單元模擬主軸的結構，介紹了單元動力學模型（xíng），同時利用數學方法對單元動力學模型進行坐標（biāo）變換，將個體單元動力模型轉化成（chéng）整體係統動力學（xué）模型，並在此基礎上介紹了模態分析的基本理（lǐ）論及方法，為（wéi）下階（jiē）段（duàn）進行結構模態分析提供充分的理論基礎。
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