高速（sù）電主軸滾（gǔn）珠軸承-轉（zhuǎn）子係統 動態性能（néng）分析
2016-8-15 來源：哈爾濱工業大學 作者（zhě）：張阿祺
在高轉速運轉下，由於（yú）球滾動體繞自身軸線會轉動並且繞軸承軸（zhóu）線也有轉動，這時（shí）球滾動體不是簡單的單一（yī）運動，而是產生滾動和滑動結合的複合運動，球滾動體的陀（tuó）螺力矩、摩擦力和相應的（de）離心力值通常會很大，摩擦力會受到較大的影響，使得外滾道發生了比較大的變形，使球滾動體的內部載荷分布發生（shēng）變化。高速角接觸球軸承（chéng）動力學求解的關鍵是內外圈（quān）與滾動體的接觸角，所有的動力分析都跟接（jiē）觸角有關，所有求解的（de）關鍵也必然是接觸（chù）角。
3.1 高速狀態下的滾動體運動狀態（tài）分析
3.1.1 軸承中的坐（zuò）標係
如圖 3-1 所示（shì），以角接觸球軸承繞 x 軸高速旋轉的某個球（qiú）滾動體為質點，建立（lì）了三個坐標係：
圖 3-1 軸承各坐標（biāo）軸及其關係
（1）x，y,z 軸承固（gù）定坐標係，x 軸的方向與軸承旋轉軸的方向一致；
（2）x’，y’，z’滾珠隨動坐標係，x’軸與 x 軸平行，原點 O’為滾珠球心且繞x 軸（zhóu）以軌道速度旋轉，旋轉半徑為md/ 2 ;
（3) U，V，W 以 O’為原（yuán）點並以軌道速度繞 x 軸旋轉，以滾珠自身旋轉軸為 U 軸， W 軸位於 U 軸與 z’的平（píng）麵內（nèi），W 與 z’的夾角為 β。
根據內圈溝道理論，軸承外圈相對（duì）固定，內圈以角速度為做勻（yún）速（sù）運動時（shí），軸承轉（zhuǎn）速為：
3.1.2 忽略（luè）陀螺樞軸（zhóu）運動滾動體的自轉和公（gōng）轉（zhuǎn）運動
球滾動體的（de）自轉（zhuǎn）運動，高速狀態下，主軸軸承（chéng）滾動（dòng）體繞自身軸（zhóu）線 O’U 作自轉運動：
球滾（gǔn）動體的公轉運動，主軸（zhóu）軸承內（nèi）部球滾動體繞軸承中心線 OX 軸作公轉運動時，其角速度等於保持架的角速度，大小（xiǎo）為：
3.1.3 忽略陀螺樞（shū）軸運動滾動體的自旋運動及（jí）旋滾比
滾珠的自旋運動（非控製溝（gōu）道即內圈溝（gōu）道存在（zài）自旋運動），本文是以外圈溝道為（wéi）控製溝道的高（gāo）速（sù）電主軸軸承，跟其他理（lǐ）論體係認為存在複合運（yùn）動的情況不一樣，外圈溝道控製理論認為外圈滾道隻作純滾動，並不存在自旋運動（dòng），從而簡化了研（yán）究對象（xiàng），內圈（quān）溝道既作滾動運動又繞接觸麵法線做自旋運動：
內圈溝道的旋滾比為（wéi）：
由式（3-6）、（3-7）、（3-38）得內圈溝（gōu）道的旋滾比為：
3.2 高速狀態下滾動體的受力狀態（tài）分析
3.2.1 離心力
高速運（yùn）轉狀態下的軸承內部滾動體會（huì）受（shòu）到（dào）比較大的離心力作用：
3.2.2 陀螺力矩和摩擦力
由（yóu）於主軸軸承運（yùn）轉時，其內部球滾動體會發生（shēng）自轉，使得軸承的自身軸線 O’U會不斷地改變（biàn）方向，並產生陀螺運動趨勢，陀螺力矩將被球軸承滾道上的摩（mó）擦力所阻止。陀螺力矩可（kě）表示為（wéi）：
根據外圈溝道控製理論和力平衡條件，外圈的滑動摩擦力應與陀螺力矩平衡：
3.3 軸承內部的變形和位移
3.3.1 預（yù）載荷引起軸承滾珠的變形和位移
一般（bān）軸承會施加一定的預載荷來提（tí）高軸承抵消外力載（zǎi）荷的能力，保證軸承係統的支承動態（tài）穩定性（xìng），即（jí）提高軸承的動剛（gāng）度，從而提（tí）升軸承的性能。但是預緊載荷不能過大，因為過量的預載荷會引起摩擦力矩的增加導致軸承發熱過大而影（yǐng）響軸承的使用壽命。軸向預載荷與軸承工作角的關係：
3.3.2 高速狀態（tài）下軸（zhóu）承的內部變形和位移
由於球滾動體（tǐ）繞自身軸（zhóu）線和軸承軸線都在做旋轉運動（dòng），所（suǒ）以會產生慣性載荷和離心（xīn）力[5]。在低速狀態下這些慣性載荷比外載荷（hé）小得多，可以忽略不（bú）計，但是在高速（sù）狀態下，軸承內圈圈滾道曲率中心的（de）初始位移為：
根據內、外圈的相對軸（zhóu）向位移、相（xiàng）對徑向位移和相對角位（wèi）移可以求出內、外圈（quān）溝道曲率中心軌跡的（de）軸（zhóu）向距離和徑向距離分別為：
由圖 3-2 可以得出各個參數之間的關係：
根據勾股定理和相應（yīng）滾道接觸變（biàn）形的幾何協調條件：
圖 3-2 載荷作用（yòng）前後角位（wèi）置Φ 處球中心和（hé）溝道曲率（lǜ）中心的位置關係
3.4 高速狀態下軸（zhóu）承的受力方程和基本（běn）方程組
3.4.1 球滾動體受力的平衡方程組
根據高速電主軸運行的實際情況（kuàng），外溝道（dào）控製基本成（chéng）立（lì），滾（gǔn）動體的陀螺力矩完全被（bèi）球-外溝道接觸（chù）區的摩擦力所（suǒ）阻止（zhǐ）。滾動體（tǐ）所受載荷的（de）關係如圖 3-3 所示，那麽（me）可得到水平和垂直方向的軸承內部受力（lì）平（píng）衡方程組：
圖 3-3 角位置Ψ處（chù）球（qiú）滾動體所受載（zǎi）荷
3.4.2 軸承受力（lì）的平衡方程組
軸（zhóu）承在（zài）軸向、徑向和繞軸線轉動方向受（shòu）力平衡，則整個軸承的平衡（héng）條件：
3.5 軸承方程組的求解（jiě）和動力（lì）學狀態分析
3.5.1 軸承（chéng）方程組的求解優化及其流程圖
由式（3-27）、（3-29）得（dé）：
很（hěn）多文獻包括 Harris，都是應用 Newton-raphson 迭代（dài）法進行求解 4Z+1 個方程組，這（zhè）個方法用於求解低數量方程組成的方程組效率挺高的，但是求解多個方程組成的方程組會出現很大的問題，甚（shèn）至無法收斂。Newton 法存在的缺陷主（zhǔ）要有：
（1）需求解 N2個導數值；
（2）對初（chū）值（zhí）要求很高；
（3）需對 Jacobi 矩陣求逆，而（ér）此非（fēi）線性方程組的 Jacobi 矩陣可能是病態（tài）的。
通過此法求解軸承非線性方程，很容易（yì）造成不收斂或者求解時間過長（zhǎng），並且初值是（shì）由靜態值求得的，精度很低（dī），很難滿足 Newton 法的（de）要求。
采用逆 Broyden 秩 1 法的（de）主要優點有：
（1）隻需求解 N2個算數運算；
（2）無需求解（jiě） Jacobi 矩陣的逆。
圖 3-6 高（gāo）速球軸承動力學（xué）狀態（tài）分析程序流程圖
（2）通過（guò）優化求解方程組，最後高速球軸承動力學狀態分析流程如圖（tú） 3-6 所示，利用此程序流程圖編寫 MATLAB 程序，求解軸承方程組，並得到如表 3-1 所示數據。當 n=10000 r/min，Fa=20000 N，Fr=0 N 時，本文結果通過和 Harris結果對比基本（běn）一致（zhì），Harris 結果是在一定的實驗基礎上得到的，說明（míng）所編製程序求得的結果在誤差範圍內符合實（shí）際結果。
表 3-1 球軸承（chéng） 7218 內部動力學狀態（tài）對比
3.5.2 預載荷（hé）對軸承初始量的影響
對軸承施加預載荷在一定程度上能使軸承的剛度增加，減少噪音並提高軸承的工作精度，但是預載荷過大則降低軸承（chéng）的（de）使用（yòng）壽命，過小則得不到（dào）預期的效果。
圖 3-4 預載荷（hé）與實際（jì）接觸角的關係
圖 3-5 預（yù）載（zǎi）荷與軸承初始（shǐ）位移（yí）的關係
（1）預載荷對軸承實際接（jiē）觸角的影響如圖 3-4，當增大（dà）預載荷時，軸承（chéng）的實際接觸角隨之變大，但（dàn）是增加的趨勢變小，即（jí）斜率變小（xiǎo），所以在施加預載荷時應控製其大小，以免軸承的工作接觸角過大，使得摩擦（cā）力增（zēng）加，進而（ér）影響軸承壽命。
（2）預載荷對軸承初始位移的影響如（rú）圖 3-5，當增大預載荷時，軸承初始位移（yí）也隨之增（zēng）大，但是（shì）趨勢在一定程度上減小。由式（3-46）結合圖 3-5 可以得出，命產生影（yǐng）響。
3.5.3 轉（zhuǎn）速對軸承動態性能（néng）的（de）影響
軸承轉速對（duì）軸承（chéng）動態性能有很大的影響，它是衡量軸承性能的重要參數。軸承轉速越高，主（zhǔ）軸機床的加工性能越好，但是軸承轉速越（yuè）高，其對軸承內部動力學特性（xìng）影響越大。轉速 n 引起了軸承（chéng）滾動體的（de）離心力和陀螺力矩的變化，也改變了軸承（chéng）滾動（dòng）體在滾道上的實際接（jiē）觸角，實際（jì）的滾道接觸載荷等軸承內部（bù）動力學量。
（1）轉速對軸承滾道實際接觸角的影響如圖 3-7，主軸軸承在高速（sù）狀態時，由於滾動體的離（lí）心力和陀螺力矩的影響，滾動體會遠離內圈趨向外圈，使得（dé）內圈接觸角增大而外圈接觸角減小。轉速越高，滾動體的內外圈實（shí）際接觸（chù）角的值（zhí）相差越大。
圖 3-7 轉速與滾道接觸角的關係
圖 3-8 轉速（sù）與（yǔ）滾道（dào）接觸載荷的關係
（2）轉速對軸承接觸載荷和接觸應力的影響（xiǎng）如圖 3-8 和圖（tú） 3-9，主軸（zhóu）軸承在（zài）高速運轉時，其滾動體在內圈接觸載荷和接觸（chù）應力在減小，減小幅度較小；在外（wài）圈（quān）滾道上接觸載荷和接觸應力在增大，在轉速超（chāo）過 10000r/min 時變化幅度很大。在轉速超過（guò） 15000r/min 時內外圈的接觸載荷和接觸相差很大，對軸承性能產生很大的影響。
（3）如圖 3-10 轉速對軸承接觸位移的影響，轉速提高時，軸承的軸（zhóu）向位移減小，而且減小（xiǎo）趨勢變快，由於 Fa不變，軸向位移減小，所以此時軸承的軸向（xiàng）剛度稍微變大，對軸承性能產生有（yǒu）益的一麵。但是（shì）這個影響有限，需要我們權（quán）衡利（lì）弊。
（4）轉速對離心力、陀螺（luó）力矩的影（yǐng）響如圖 3-11 和圖 3-12 所示，高速狀態球軸承隨著轉速的提高，軸承球滾動離心力體會隨之增加達到了相當大（dà）的（de）值，陀螺力矩也是一（yī）樣的。離（lí）心力是球滾動體的慣性特（tè）性引起的，這時已經成為影響軸承內部動力學狀態的主要因素（sù），而由於陀螺力矩是由外圈摩擦力來抵消的，其值過大將使外圈摩擦力增大（dà），發熱變大，進而影（yǐng）響軸承動態性能。
圖 3-9 轉速與內外圈最（zuì）大接觸（chù）應力的關係
圖 3-10 轉速與（yǔ）軸向位移的關係
圖 3-11 轉速與離心力的關（guān）係
圖 3-12 轉速與陀螺力矩的關係
（5）從圖 3-13 可以看出轉速對旋滾（gǔn）比的影響，隨著轉速的提（tí）高，軸承滾（gǔn）動體在內圈的旋滾比迅速增加，使得球與內圈滾道的滑動摩擦增加（jiā）進而發熱加劇，嚴重影響軸承的正常工作降低軸承的疲勞壽命。
圖 3-13 轉速（sù）與內（nèi）圈旋滾比的關係
圖 3-14 轉速與軸承內外圈疲勞壽命的關（guān）係
（6）轉速對軸承內外圈的疲（pí）勞（láo）壽命的影響如圖 3-14，隨（suí）著轉速的（de）提（tí）高，內圈疲勞壽命不斷增加，而外圈（quān）的疲勞壽命卻劇烈（liè）降低，這是（shì）因為轉速增加後內圈的接觸（chù）載荷和接觸應力在減（jiǎn）小，而外（wài）圈卻大（dà）幅增加的關係（xì）。
3.5.4 不同轉（zhuǎn）速下的（de）推力作用載荷對軸承動態性能的影響（xiǎng）
本文設計主要針對高速主軸所受軸向力影（yǐng）響，徑向載荷和傾覆載荷都比較小，可以忽略（luè）。同時軸承處於穩定工作環境下，軸向載荷受的衝擊很小很平穩。
圖 3-15 推力作用載荷與接觸角的關係
（1）推力作用載（zǎi）荷對滾（gǔn）道實際接觸角的影響如圖 3-15，當推力作用載（zǎi）荷（hé）變大（dà）時，軸承的內圈接觸（chù）角減小，外（wài）圈接觸角變大。低速時推力作用載荷對（duì）接觸角的影響較小，高速時（shí）接觸角變化率很大，接觸角趨向接近初始接觸（chù）角，對軸承性能有一定（dìng）的影響。
（2）推力作用載荷對滾道接觸（chù）載荷的影響如圖 3-16，隨著推（tuī）力（lì）作用載荷（hé）的增加，軸（zhóu）承內（nèi）外（wài）圈接觸載荷會（huì）隨之增加，對軸承的運轉和壽命產生不利的影響。其中在轉速為 15000 r/min 時外圈接觸載荷在低速時受（shòu）推（tuī）力作用載荷影響不大，因為這時主要（yào）受高速（sù）轉速的影響。而在較低速和高速內圈的（de）接觸載荷受推力作用載荷的影響較大而且基本上成正比例關係（xì）。
（3）推（tuī）力作（zuò）用載荷（hé）對內外圈接觸應力的影響如圖 3-17，隨著載荷的增加，軸承內外（wài）圈滾道（dào）接觸（chù）應力隨之增加，這跟推力作用載荷（hé）影響（xiǎng）內外圈接觸載荷的情形基本相同，這（zhè）裏不再重複敘述。接觸應力（lì）的大小會影響軸承的疲（pí）勞壽命（mìng）。
（4）推力（lì）作用載荷對軸向位移的影響如圖 3-18 所（suǒ）示，隨著軸承推力作用載荷的增加，軸承（chéng）的軸向位移也在不斷的增加，但是增加的趨（qū）勢在明顯的減（jiǎn）小。由公式（3-41）可知。軸承的剛度也在隨著增加，其中當（dāng）轉速等於 15000 r/min 時，軸承的剛度增加得最快。而在低（dī）速時軸承的剛度基本（běn）不變。
圖 3-16 推力作用（yòng）載荷與滾道接觸載（zǎi）荷的關係
（5）推力作用載荷對離心力的影響如圖 3-19，在低速時（shí）軸承滾動體的離心力基本不受（shòu）推力作用載（zǎi）荷的影響，而在轉速超過（guò） 15000 r/min 時離心力隨著推力作用載（zǎi）荷（hé）的增大而（ér）減小，這是因為推（tuī）力作用載荷影響了（le）工作接觸角進而影響滾珠公轉轉速的關係。
（6）推力作用載荷對陀螺力（lì）矩的影響如（rú）圖（tú） 3-20 所示，在低速時（shí）軸承滾動體的陀螺力矩基本不受推力作用載荷的影響，而在轉（zhuǎn）速超過 15000 r/min 時陀螺力矩隨著推力作用載荷（hé）的增大而增大，這是因為推力作用載荷影響了工作接觸角進而影響滾珠公轉和自轉轉速的（de）關係。由於陀螺力矩是由外圈摩擦力（lì）抵消的，其值不能超（chāo）過（guò）外（wài）圈動（dòng）摩擦力，不然假（jiǎ）設不成立。
（7）推力作用（yòng）載荷對旋滾比的影響如圖 3-21 所（suǒ）示，隨著推力作用載荷的提高，軸承滾動體在內圈的旋滾比（bǐ）有所降低，球與內圈滾道的滑動摩擦（cā）減少。此外（wài），在低轉速時推力作用（yòng）載荷對旋滾比基本沒（méi）有影響。
圖 3-18 推力作用載荷與軸向位移的關係
圖 3-19 推力作用載荷與離心力的關（guān）係
圖 3-20 推力作用載（zǎi）荷與（yǔ）陀螺力矩的關係
圖 3-21 推力作用載（zǎi）荷與旋滾比的關係（xì）
3.6 本（běn）章小結
本章通過對（duì）高速角接觸球（qiú）軸承（chéng）的分析得出以下結（jié）論：
（1）同樣大小的高轉速運轉下，一定程度的預載荷通過對軸承的位移和滾動體與內外滾道的接觸角的影響，提高軸承的動剛（gāng）度，有利於軸承動態性能的提升。
（2）通過轉速（sù）、推力作用載荷對離心力、旋滾比和陀螺力矩等動力學量的影響分（fèn）析，可以看出高轉速和不同的推力作用載荷引（yǐn）起了軸承滾動（dòng）體運（yùn）動狀態的巨大（dà）變化（huà），軸承（chéng）滾動體在（zài）滾（gǔn）道上的實際接觸角和實際的滾道接觸載荷（hé）也發（fā）生很大（dà）的變化，從（cóng）而改（gǎi）變了（le）軸承（chéng）的動剛度等動力學性能。最後也會對後麵電主軸軸承-轉子係統的動態性能研究產生較大（dà）的影響。
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