0 引言

      滾珠絲杠副是數控機床及加工中心的關鍵部件（jiàn）, 起到精密傳動和定位的（de）作用。數控機床向高速高精方向的發展對滾珠絲杠的精度提出了更高的要求。研究滾珠絲杠的溫升及熱變（biàn）形規律對提高機床的加工精度具有重（chóng）要意義。在這（zhè）方麵, 前人已有一些有（yǒu）意義的工作。Huang[ 1] 把滾珠絲杠前後軸承、絲杠螺母等熱源處的溫度作為預（yù）測模（mó）型的變量, 用多元線性回歸的方法較好地（dì）預測了滾珠絲杠在不同轉（zhuǎn）速下的熱變形。Kim 等[ 2] 與Wu 等[ 3] 通過有限元方法研究了（le）施加軸向預負載的滾珠絲杠（gàng）在不同（tóng）轉速和運行時間下的溫度分布, 並將其與實驗結果進行了比較。宋現春等（děng）[ 4]分析了精密絲杠磨削過程中（zhōng）引起工件熱變形的主要因素, 提出了通過控（kòng）製磨（mó）削溫度來減小和控製工件熱（rè）變形的方法和途（tú）徑。以上方（fāng）法主（zhǔ）要考慮的是機床由熱變形（xíng）產（chǎn）生的靜態誤（wù）差（chà）或準（zhǔn）靜態誤差通過經驗建模得到絲杠係統的測點溫度變化和關鍵點熱變（biàn）形之間的關係模型, 從（cóng）而獲得補償策略並通過控製係統對熱誤差進（jìn）行補償。然而經驗建模方法對工作條件（jiàn）變化範圍大、時變性強的工況來說（shuō）, 其精度和魯棒（bàng）性很差。隨著工況和環境的（de）變化, 機床的熱源也是動態變化的, 研究多變（biàn）化（huà）熱源產生的溫（wēn）度場和熱（rè）變形的動態特性, 可以更準確對（duì）機床熱誤差進行實時補償, 進一（yī）步（bù）提高機床加工精度。

      本（běn）文以傳熱學理論為基礎（chǔ）, 探討了滾珠絲杠受多變化熱源影響而產生的溫（wēn）度場及熱變形的動態特性, 並通過有限元軟件（jiàn）進行仿真, 研究了滾珠絲杠在（zài）特定工況下產（chǎn）生的溫度場、熱變形（xíng）場及其變化規律（lǜ）。

1 滾（gǔn）珠絲杠熱傳導（dǎo）的理論問題

      1. 1 熱傳導方程

       滾珠絲杠係統的熱源主要有端部驅動電機功率損耗產生的發熱、絲杠兩端軸承摩擦發熱、絲杠與絲杠螺（luó）母摩擦發熱。首先, 考慮端部電機和軸承發熱對（duì）絲杠熱變形的影（yǐng）響。由於影響機床加工精度的主要是（shì）軸（zhóu）線方向的熱變形, 因此不考慮絲杠徑向（xiàng）方向的熱變形。

       絲杠長為L , 它與周圍空氣（qì）的熱對流係（xì）數為as , 周圍空氣溫度（dù）為Hf , Q( t ) 為從絲杠（gàng）左（zuǒ）端流入的周期變化熱源（yuán）。圖1 中絲杠的（de）熱傳導方程為[ 5O7]

       1. 2 溫度響（xiǎng）應

      通過監測熱源處的溫度值來評價熱源的發熱強（qiáng）度。在絲杠（gàng）左端A 處輸入周期變化的熱流, 監測得A 處（chù）的溫度變化函數為

H( x , t) | x= 0 = H( 0, t) = H0 + H1 sin( Xt - U)          ( 3)

       則式( 3) 為式( 2) 的邊界條件。可求得式( 2) 的解

      式( 2) 的求解使用了式( 3) , 而沒有用任何其他初始條件, 這類方程適（shì）合於求解機床達（dá）到準（zhǔn）穩態時周期變化熱源產生的溫度（dù）響應。根據（jù）式( 4)可（kě）分（fèn）別繪製滾珠（zhū）絲杠的溫度（dù）響應圖( 圖2) 和（hé）不同位置的溫度變化曲（qǔ）線( 圖3) 。

      從圖3 可知, 溫度的幅值隨著（zhe）x 的增大而減小（xiǎo）。不同位置（zhì）x 處的溫度曲（qǔ）線具有相同的周期, 但相位角U不同, 隨著x 的增大（dà）, 相位角（jiǎo）U也增大, 表現出了明顯的（de）滯後性。

      由式( 4) 及圖2、圖3 可知, 溫度H( x , t) 隨距離x 按周期分布, 溫度波的振幅隨x 而減小, 振幅為

      1. 3 任意熱源信號的溫度響應

      根據工況不同, 機床熱源的變化情況主要可分為周期性熱源和非周期性熱源。加工多（duō）零件、多（duō）工（gōng）序時可（kě）能出（chū）現周期變化或準周期變化的熱源。按熱源波形劃分又有斜波、方波、餘弦波等不同的周期熱源（yuán）。熱源函數H( x 0 , t) 在時間（jiān）上是連續的（de）,滿足（zú）Dir ichlet 條件, 在時（shí）間域內可以展（zhǎn）開成關於時間變量t 的傅裏葉級數, 即

      單工序時機床可能出現非周期性的線性熱源（yuán）或其他非線性熱源, 先對熱源函數進行奇拓展( 或偶拓展) , 再由傅裏葉公式展開成餘弦級數。故考慮機床餘弦周期熱源的響應問題具有較普（pǔ）遍的意義。將式( 5) 代（dài）入式( 2) , 可求解滾柱絲杠對於（yú）任意熱源信號（hào）所產生的溫度響應:

      1. 4 多熱源融合

      如圖4 所示（shì）, 滾珠絲（sī）杠係統中, 主要有電機、兩個軸承和絲杠螺母產生的4 個熱源, 這裏把電機（jī）和與電機相（xiàng）鄰軸承的生熱之（zhī）和當作一個熱源來考慮, 為H3 ( x , t) , 另（lìng）一軸承產生的熱源為H1 ( x , t) , 絲杠（gàng）螺母處的熱源為H2 ( x , t) 。由於導熱方程是線性方程, 它滿（mǎn）足疊加原理[ 8], 即幾個熱源同時作用下的溫度響（xiǎng）應等於各（gè）個熱源作用下溫度響應的疊加。由式( 6) , 得

      雖（suī）然動態、時變熱源產生的溫度場是非常複雜（zá）的, 但常用器件如電動機、軸（zhóu）承等的發熱規律是可（kě）計算和預（yù）測的[ 9, 10] , 通過監測熱源處的溫度變化規律並結（jié）合式( 5) 、式( 7) , 可初（chū）步確定滾珠絲杠的溫度場分布。

2 滾（gǔn）珠（zhū）絲杠係（xì）統多熱源溫度場及熱（rè）變形仿真

      2. 1 構建（jiàn）模型及加載

      在幾何建模及加載時做了一些簡化, 忽略了絲杠上的螺（luó）紋槽, 把滾珠絲杠簡化成一個狹長的圓柱體。模（mó）型如圖5 所（suǒ）示, 采用SOLID5 熱- 應力耦（ǒu）合單元劃分中心對稱的網格。

      滾珠絲（sī）杠圓柱麵與周圍空氣的對（duì）流換（huàn）熱係數為121 5, 空氣溫度為20 e , 鑄（zhù）鐵導熱係數為70W/ ( m # K) 。在模（mó）型的節點上添加的均一溫度負載為20 e 。兩端麵添加的周期性溫度載荷( 通過ANSYS81 0 裏的函（hán）數編輯器可以定義多種函數表達（dá）的載荷) 為

      2. 2 多熱源滾珠絲杠（gàng）溫度場仿真

      把建好的模型用求解器進行求解, 對模型進行瞬態溫度場的分析。時間終點為7200s, 時間步長為72s。由於H1 ( x , t) = H3 ( x , t) , 滾珠絲杠軸向溫度分布具有對稱性, 故（gù）隻（zhī）考慮x I ( 0, 01 40)m範圍內的溫度分布。求（qiú）解可得如圖6 所示的分析結果。

      由圖（tú）6 可知, 不同位置處的溫（wēn）度以2400s 為周期; x 在0 ~ 01 30m的變化範圍內, 幅值從40 e 衰減到（dào）大約261 5 e , 在01 30 ~ 0140m 的變化範圍內,幅值從大約2615 e 又增加到大約30 e 。由於熱源H1 ( x , t) 和H2 (x , t) 的共同（tóng）作用, 溫度波在x I ( 0, 01 25)m 內（nèi）向右移動, 在x I ( 01 25, 0140)m內向（xiàng）左移動。

      2. 3 多熱源滾珠絲杠熱變形仿真

      對圖5 中的模型進行溫（wēn）度- 應力耦合分析,時間（jiān）終點為7200s, 時間步長為72s。圖7 所（suǒ）示的10 條曲線從（cóng）上至下依次為x =11 0m, x = 01 9m, x = 01 8m, x = 01 7m, x =01 6m, x = 01 5m, x = 01 4m, x = 01 3m, x =01 2m, x = 01 1m 時的滾珠絲杠（gàng）熱（rè）變形隨時間變化的曲線( 圖7 中（zhōng）熱變形包含絲杠（gàng）從0 e 升高到20 e 的值) 。比較這10 條曲線, 發現不同的（de）x 處存在熱變形波移動的現象, 由於熱源H1 ( x , t) 、H2 ( x , t) 和H3 ( x , t ) 的共同作用, 溫度波在x I ( 01 1, 01 3) m 範圍（wéi）內向右移動, 在x I ( 01 3, 01 7)m 範圍內向左移動, 在x I ( 01 27, 11 0) m 範（fàn）圍內又開始向右移動。

      滾珠絲杠產生的熱誤差通過絲杠螺母（mǔ）傳遞給工作台。通過對有限元分析結果進行一定的處理（lǐ）可得圖8 所示（shì）的絲杠螺母在行（háng）程x I ( 350650) mm 內的熱誤差圖。由圖8 可知, 熱變形誤差沿時間軸具有明（míng）顯的周期性, 且周（zhōu）期為2400s; 曲線（xiàn）的幅值隨x 增大線性增大, 在行程內, 幅值由3Lm 增加到7Lm; 圖8 清晰顯示出了絲杠螺母軸向熱誤差隨時間t、軸向距（jù）離x 的變化關係（xì）及動態特性, 為進一步製定誤差補償（cháng）策（cè）略奠（diàn）定（dìng）了基礎。

3 結論

      本文用傳熱學的理論研究了滾珠絲杠受周期變（biàn）化的端熱源影響而產生的溫度（dù）響（xiǎng）應及其變化特性, 采用疊加法求解多變化熱源作用下滾（gǔn）珠絲杠的溫度場; 通過有限元仿真, 進一步驗證了理論結果的正確性, 得出了滾珠（zhū）絲杠在（zài）行程內熱誤差動態變化的曲麵圖。在研究（jiū）工作中忽略了滾珠絲杠與周圍空氣的熱交換、簡化了（le）滾（gǔn）珠絲杠結構上的（de）許多細節（jiē）, 這與絲杠係統的實際工況有一定的（de）差異, 但這並不妨礙滾珠絲杠溫度場和熱變形變化規律性研究的（de）正確性。