0 前言

     五軸加工在三軸加工基礎上增加了兩個旋轉軸，從而使加工方式更加靈活（huó），材料去除率更高，加工時間更短（duǎn），可以處理更為複雜（zá）的工件[1-2]。但是旋（xuán）轉軸的運動也使刀具（jù）姿態控製更為複（fù）雜，從而引入許多五軸加工所特有的問題[3-4]。奇異點問題就是其中重要的一個。當刀具通過奇異點附近區域(本文稱奇異區域)時，旋（xuán）轉軸會產生不連續並（bìng）且急速的轉動，這大（dà）大增加（jiā）了（le）非線性誤差，同時極易（yì）破壞工件，甚至損（sǔn）傷機床部件[5-6]。因此，對奇異區域內的刀具（jù）路徑（jìng）進行優化處理，對（duì）於提高加工精度和加工效率至關重（chóng）要（yào）。

     AFFOUARD 等[6]提出通（tōng）過多項式插補修（xiū）改刀具路徑來避（bì）開奇異位（wèi）置，但是插補算法複雜，計算上代價較大。MUNLIN 等（děng）[7-8]通過選擇奇異點附近旋轉軸運動的（de）最短路徑來減小誤差（chà），但該方法在選擇轉角取值時，考慮的是相鄰點（diǎn）轉角變化（huà）量的相（xiàng）對值（zhí）最小，而相鄰點之間轉角（jiǎo）變化量的絕對值可能較大，出現這樣的（de）情況時誤差仍然較大（dà）。SORBY[9]提（tí）出的方法是在奇異點附近插入刀位點，同時修改C軸轉角，避免加工（gōng）通過奇異（yì）點時誤差過大，但由（yóu）於之前沒有對（duì）奇異區域的範圍（wéi）進行檢測，因此當刀具穿過奇異區域卻不（bú）經過奇異（yì）點時，加工精度不夠理想。王（wáng）丹等（děng）[10]給出的通用的五軸加工非線（xiàn）性誤差控製算法也可以運（yùn）用到（dào）奇（qí）異區域的處（chù）理上（shàng），但由於單純采用線性插值，使（shǐ）奇異區域內的加工速度大（dà）大降低，而且插值過密容易導致機床頻繁地做加減速運動，易引起刀具顫振。

     針對以上問題，本文在前人研究的基礎上，以AC 雙轉台五軸機床為（wéi）例，給（gěi）出（chū）一（yī）種將優化C 軸轉角(簡稱（chēng）C 角)、修改刀軸方向、遞歸線性插值三者結合的刀具路（lù）徑優化算法，從而在提高奇異區域內（nèi）加工精度的同時，保證速度盡量快、加工更平穩。

1 五軸機床的運動學方程

     1.1 AC 雙轉台五軸機床正向反向運動學（xué）變換本文（wén）以AC 雙轉台（tái）五軸機床作為研究對象(圖1)。首先根據其機床結構和運動（dòng）鏈（liàn）建立機床正向運動學方（fāng）程。設工（gōng）件坐標係坐標原點為Ow，工件坐標係（xì）下的刀具位置矢量為pw=(xw yw zw)T，刀具方向矢量為uw=(i j k) T；機床坐標係原點為Om，機床線性軸運動矢量為pm=(xm ym zm)T，機床旋轉軸（zhóu）為（wéi）A 和C，對應（yīng）的機床轉角分（fèn）別為α 和γ。

根據圖1 所示的運動鏈，AC 雙轉台（tái）五軸（zhóu）機床的正向運動學方程如下.

      由式（shì）(3)計算出（chū）的（de）原始C 角在(–π, π]之間。由表1 可知，如果相鄰點之間i 或j 的方向（xiàng）發（fā）生變化，C角可能會發生劇烈變化。例如第n 點刀軸方向為 (0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，第n+1 點的刀軸方向為 (–0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，直接依據式(3)計算出來的（de）C角分別為3/ 4π 和−3/ 4π ，相距3/ 2π 。由式 (4)～(7)可知，線性軸的取值與旋轉軸有關（guān），C 角變化劇烈會（huì）導致線性（xìng）軸變（biàn）化（huà）劇烈，從而產生較大的（de）誤差。因此需（xū）要對（duì）原始的（de）C 角進行修正。由於正（zhèng）弦函數和（hé）餘弦函數（shù）都以2π 為周期，因此利（lì）用這一特性在反解三角函數的過程中修改C 角的取值

     式中 n 1 γ + ′ ——修改後的第n+1 點（diǎn）的C 角取值n 1 γ + ——修改前的第n+1 點的C 角取值（zhí）n γ ——修改前的第n 點（diǎn）的C 角（jiǎo）取值經過這樣處理後，加工路徑上（shàng）Δγ ( n 1 n γ γ + − )都不超過π ，過大（dà）轉角得到（dào）初步控製。對於（yú）AC 雙轉台五軸機床來（lái）說（shuō），C 軸對線性軸的（de）影響（xiǎng）大，A 軸較小[11]。因此隻需（xū）要對（duì）C 角進行優化即可。

2 奇異區域內的優化方法（fǎ）

     2.1 奇異點和奇異區域（yù）

      由圖1 可知，當α=0 時，刀（dāo）軸與轉台台麵垂直， C 角取任何值刀軸方向都（dōu）不會改變，造成自由度（dù）丟失。根據式(2)～(3)也（yě）可以看到，α=0 時，刀具方向矢量為 (0,0,1)，此時γ = arctan(0 / 0) ，無解，在Matlab 中規定為0。對於AC 雙轉台機床，刀軸方向為(0,0,1) 的點就是奇異點。盡管在反運動學變換過（guò）程中修正了C 角的取值，但是如果刀具經過奇（qí）異點附近即奇異區（qū）域時，Δγ 仍然很大，甚至可能達到π 。刀具進入奇異區域後（hòu），越接近奇異點，C 角變化越劇烈（liè），由此產生的非線性誤差越顯著，對工件和刀具可能造成的損害也越大。需指出（chū）的是，刀具經過奇異（yì）區域並不一定會經過奇異點，而經過奇異點就一（yī）定是經過（guò）了奇異區域。

      對於奇異區域的範圍，可以采（cǎi）用基於機床雅可比矩陣條件數的方（fāng）法來界定（dìng）：首先根據機床的運動（dòng）學方程和相（xiàng）鄰點各軸（zhóu）運動（dòng）變（biàn）化（huà）量建（jiàn）立五軸機床雅可比矩陣，然後求解雅可比矩陣的條件數，如果條件數超過給定值，則可以判定當前（qián）加工區間處（chù）於奇異區域內[12]。

      2.2 奇異點及其附近的C 角處理

      造成奇異區域內非線性誤差過大的原因一般有兩個：一是因為奇異點處i 和j 均為0，造成C角值不能確定；二（èr）是因為奇（qí）異點前後（hòu）兩點的i 或j可能會發生變號（hào）造成（chéng）的。下麵分別就這兩種（zhǒng）情況給出處理方法（fǎ）。

      2.2.1 第一（yī）種情況

      對於第（dì）一（yī）種（zhǒng）情況，由於當刀具（jù）在奇異點位（wèi）置時，刀軸（zhóu）與轉台台麵垂直，C 角無論取何值都不會影響該點的刀軸方向，因此可以指定這一點的C 角值（zhí）。設指定後的C 角值為γ ′ ，奇異點前後兩點的C角（jiǎo）值分別為1 γ 和2 γ 。設定的C 角值要使1 γ ，γ ′ ， 2 γ波動最小，需要三者方差最小。奇異點處C 角設定方法如下

      這樣，奇異點（diǎn）左右兩個區間的Δγ 都不超過π/2，過（guò）大的Δγ 有效降低。表2 給出一處奇異點附近的刀位數據。表3 是對應的機床（chuáng）各軸運動坐標數（shù）據。

     刀具從第1 點走到第3 點，C 角一共變（biàn）化了π ，但由於第2 點（diǎn）和（hé）第1 點之間的Δγ = π ，所（suǒ）以導致這兩點之間的路徑呈現（xiàn）為一個很大的弧（hú）。按照（zhào）上述方法對奇異（yì）點處（chù）C 角進行設定。之（zhī）後根據設定的角度修改x，y，z 軸的取值。

      表4 給出奇異點處C 角設定後的機床（chuáng）各軸運動坐標。

      可知，盡管處理後z 軸（zhóu）方（fāng）向比原先增加了0.3mm 左右的誤差，但是卻使x 軸（zhóu）方向的（de）誤差減小（xiǎo）了大約40 mm，y 軸方（fāng）向（xiàng）的誤差減小了大約20 mm。整體誤差大大降低。

     2.2.2 第二種情況

     第二種情況是奇異（yì）點附（fù）近可（kě）能會（huì）存在軸（zhóu）對稱（chēng）的點，即（jí）位置坐標（biāo）和方向矢量都關於三維空（kōng）間某一坐標軸對稱。對AC 機床來說，對稱（chēng）的兩點z 軸坐標總是相同的，因此隻需要研究Oxy 平麵上投影的情況。若方向矢量（liàng）的投影關於（yú）y 軸（zhóu）對稱，則i 絕對值相同，符號相反；若方向矢量的投影關於x 軸對（duì）稱（chēng）的兩（liǎng）點，則j 絕對值相同，符號相（xiàng）反。這樣，相（xiàng）鄰兩點的C 角就可能（néng）相差（chà）超過π/2 。圖3 所示為一種奇異點附近的對稱情況。

     以C 角從第一（yī）象限轉（zhuǎn）到第二象限為例說明。當i ≥ 0且j>0 時，C 角在第一（yī）象限，設此（cǐ）時γ =θ 。若i 不變，j 變號，C角轉到第二象限，此時的γ = π −θ 。C角的變化量Δγ = π −θ −θ = π − 2θ 。當| i |≥| j |時，π/4 ≤θ < π/2 ， 0 < Δγ ≤ π/2 ； 當| i |<| j | 時， 0 <θ < π/4，π/2 < Δγ ≤ π。因此，當C角從第一象限轉到第二象（xiàng）限時， 若| i |<| j | ， 令| i′ |=| j′ |= (| i | + | j |) / 2，就可以保證旋轉不超過π/2 ,其（qí）中i′ 和j′ 分別表示修改後刀軸（zhóu）方（fāng）向矢量（liàng）在工件（jiàn）坐標係的x 軸和y 軸方向的分量。

      同理可得出其（qí）他象限的情況，如表5 所示.

     需要說明的是，如果兩點不是軸對稱，而是中心對稱，則上述方法無法將Δγ 控製到π/2以內，這時隻能（néng）通過插值法進行處理。

      盡管傾斜刀具可以調整C 角，從而降低非線性誤差，但同（tóng）時也會帶來過切和欠切（qiē）誤差。下麵通過比較二者的誤差大小來證明傾斜刀軸的有效性。以平底刀為例。設（shè）刀具直（zhí）徑為d，刀具傾斜角為δ ，由此產生的過切和欠切（qiē）誤差為（wéi）h。

     易知

                                h = d sinδ                        (9)

     設原來的刀軸方向矢量為a ，修（xiū）改後的刀軸方向矢量為b ，則sinδ = (| a × b |) /(| a |i| b |) 。由於| a |=| b |=1，所（suǒ）以sinδ =| a × b |。

     令| k |= 0.995 0 時刀具進入奇異區域，可知0 ≤| i |≤ 0.099 9，0 ≤| j |≤ 0.099 9 。下麵分析刀具從（cóng）第一象（xiàng）限進入（rù）第二象限的情況，其他情況同理。當前一點刀軸矢量為(0, 0.099 9, 0.995 0)，後一點刀軸矢量為(0, –0.099 9, 0.995 0)時，Δγ = π，變化量最大。根據上麵方法對前（qián）後（hòu）兩點分別進行修改。前一點為(0.05, 0.05, 0.997 5)，後一點為(0.05, –0.05, 0.997 5)。sinα = 0.070 5。若平底刀直徑取6 mm，則過切和欠切誤差h=0.423 mm。也就是說，對於直徑6 mm 的平底刀，修改刀軸方向引入的最大過切和欠切誤差為0.423 mm，而過大的C 角由（yóu）π 降到π/2 ，由此降低的（de）非線性誤差遠大於新引入的過切和欠切誤差。因此（cǐ）在奇異點（diǎn）附近傾斜刀（dāo）軸是有效的。表6 給出一處奇（qí）異點附近的（de）刀位數據。表7 是對應的機床各軸運動坐標。

由表4 可見，由於j 符號發生變化，且（qiě）| i |<| j |，第2 點（diǎn）和第（dì）3 點間的（de）C 角變化超過π/2 。同時看到第1 點（diǎn）與第2 點以及而第3 點與第4 點間的變化很小，因此可以考慮修改第2 點和第3 點處（chù）的刀軸方向，適當增加其他兩個區間的C 角變化量，來降低奇異點附近（jìn）的（de）過大C 軸轉動8 為修改後的刀位數據。表9 為對應的機床各軸運動坐標。

     圖5 是傾（qīng）斜刀軸（zhóu）前後的路徑對（duì）比圖。4 個（gè）點的（de）C 角方差由修改前的2.484 5 降到1.854 4，波動變小。最大非線性（xìng）誤差由16.680 8 mm 降到8.810 4mm，平均誤差也由6.075 5 mm 降到4.903 3 mm。使用直徑6 mm 的平底刀，傾斜刀軸所引入的（de）過切和欠切誤差僅為0.106 8 mm。由此可見，整體誤差大大降低。

     2.3 遞歸（guī）插點

     經過以上處理後，大（dà）部分Δγ 都降到π/2以下(除（chú）非存在中心對稱的刀位點)。如果還需要進一步提高加工精度，則通過插點對加工路徑進行線性（xìng）化。

     設相鄰（lín）兩個刀位點為( w, w ) p′ u′ 和( w, w ) p′′ u′′ 。設實際加工路徑的中點與編程（chéng）直線的中點（diǎn）之間（jiān）的距離為（wéi）r 。最大允許誤（wù）差為ω 。若r >ω ，在相鄰（lín）刀位點中點處插入新的刀位點（diǎn）( pw,uw )，然後檢查( w, w ) p′ u′ 與 ( pw,uw )之（zhī）間、( pw,uw )與( w, w ) p′′ u′′ 之間的非線性誤差是否超過ω 。如此遞歸進（jìn）行，直到r ≤ω 。

     插入新刀位點時將刀具的位姿同旋轉軸的轉角結合起來考慮，具體方法如下：設(α0 ,γ 0 ) 和 (α1,γ 1)分別為刀位點( w, w ) p′ u′ 與( w, w ) p′′ u′′ 所對應的旋（xuán）轉軸轉角坐標。首先，計算(α0 ,γ 0 )和(α1,γ 1)的中（zhōng）值對（duì）應的方（fāng）向（xiàng）矢量w u ，然後求w ′p 與wp′′的中值pw，最後將pw與uw組成新刀位點( pw,uw )。若直接令w ( w w ) / 2 p = p′ + p′′ ，再用式(2)和式(3)求解（jiě）中點處的α 、γ ，則不能有（yǒu）效降低誤差，原因是奇異區域內分量i 和j 接近0，造成C 角值偏（piān）差很大。

     2.4 整體優化（huà）流程

     綜上（shàng）所述，奇異區域的（de）優化處（chù）理流程如圖6 和圖7 所示。

3 加工（gōng）試驗

     下麵（miàn）通過仿真試驗和實際加工對上文給出的算法（fǎ）進行驗證。選（xuǎn）擇直徑6 mm 的（de）球頭刀進行加工。加工曲麵（miàn）S(u,v)的參數方程如（rú）式(10)所示

     式中，u, v 為曲麵方（fāng）程的參數。表10、11 給出初始刀（dāo）位點和初始機床各軸運動坐（zuò）標。可以看（kàn）到奇異點附（fù）近的兩種情況所（suǒ）導致的（de）C 軸（zhóu）過大偏轉。

     圖8 所示（shì）是所給加工曲麵的Matlab 仿真效果圖（tú）。經過對C 角初步優化後，過大的環形軌跡得到初步（bù）控製，再通過二次優化和插值處（chù）理（lǐ），得到的路徑與理想路徑基本接近。

     實（shí）際（jì）加（jiā）工的（de）路徑對比如圖9 所示。圖9a 實線圈出的（de）是奇異區（qū）域內的過大環狀軌跡，其中（zhōng）靠下麵的兩個是（shì）第一種情況，靠上麵的兩個是第二（èr）種情（qíng）況。可以看到，處理（lǐ）後加工路徑更加平（píng）滑，加（jiā）工精度大大提高（gāo），實際的加工情況與理論分析結果一致。需要（yào）說明的是，由於過大環形軌跡會對刀具造（zào）成損（sǔn）害，因此未對圖8b 所示的情（qíng）況進行實際加工。采用直接插點法，需插入（rù）737 個點才能將最（zuì）大（dà）非線性誤差降到0.099 8 mm。而采用綜合方法處理時，新插入點304 個（gè），最大非線性誤差0.098 4 mm，速度是直接插點法的二倍。

4 結論

     (1) 本文（wén）在對奇異區域內五軸加工（gōng）過程的處理上，根據相鄰點C 角變化量大小，依次進行C 角的初次優化、C 角的（de）二次優（yōu）化、加工路徑線性化處理。盡管這個過（guò）程會引入新（xīn）的過切和欠切誤差（chà），並且為了（le）降低某一個區間的過大誤差而增加了其他區間的誤差，但是整體的誤差得到了有效控製，同時（shí）增加的（de）誤差也在允許範圍內。

     (2) 這種處理方式（shì）既保證了奇異區域內的加工精度，有效地保護了（le）工件和機床部件，又盡（jìn）可能地減少（shǎo）了插點的數量，使奇異區域內的加工速度盡量提高。