局部幹涉處理作為複雜（zá）曲麵三軸（zhóu）和五軸數控加工中的關鍵問題之一，長期以來，得到了廣泛深入的研究。目前（qián），已經提出了很多有關的局（jú）部幹涉判斷和處理（lǐ）方法（fǎ）。其中最常見的方（fāng）法之一是距離法，即通過計算加工表麵與刀具表麵的距離，來判斷是否有幹涉發生[1-5]，在計算兩者之（zhī）間距離時，提出了通過計（jì）算三角片麵與刀具表麵的距離來代替工件表（biǎo）麵與（yǔ）刀（dāo）具表麵之間距離的方法，這（zhè）種方法需要事先（xiān）將加工表麵離（lí）散成三角片麵。該方法不（bú）但處理和（hé）計（jì）算較複雜，而且在這些文獻中，大都（dōu）主要側重於幹涉檢測（cè）和處理技術的研究，而對三角片麵的離散，尤其是檢測區域和檢測點的自動生成卻沒有進（jìn）行深入研究，僅僅（jǐn）給出了檢測區域和檢測點的一個（gè）定性描述。Ahmet[5]提出了（le）基於參數區（qū）域的檢測區域和檢測點的確定方法，並通過計算切觸點與檢測（cè）點連線的最大傾角來判斷是否有幹涉發生，這種方（fāng）法雖然技術（shù）上可行，但計算量過大。Jensen and Anderson[6]提出了通過多（duō）項式（shì）來判斷（duàn）刀具表麵與加工（gōng）表麵的下偏差等距麵之間是否相交，假如相（xiàng）交，則說明有幹（gàn）涉產生。局部幹涉處理的另一類主要方（fāng）法是微分幾何法，即通過刀（dāo）具和（hé）被加工零件切觸點處的曲率分（fèn）析（xī）來對刀具的局部幹涉進行（háng）檢查和修正。Stanislav S[7]、Cha-Soo[8]和Rao A[9]等人研究了垂（chuí）直於刀具進給方向的法截麵內刀具同加工曲麵的幾何齧合狀態，通過檢測（cè）刀（dāo）具和切觸點處的曲麵曲率是否匹配來進行局部幹涉的判斷，並通過調整刀具尺寸或刀具姿態來消除幹涉現象；文獻[10][11]提出了（le）密切曲率法，即根（gēn）據在密（mì）切麵（miàn）內刀具與（yǔ）曲麵曲率的吻合狀態來進行局部幹涉的檢測和處理；Lee[12]和Than Lin[13]等人則在切（qiē）觸點處平行（háng）於刀具進給方向和垂直於進給方（fāng）向的兩個法截麵內，分別將（jiāng）刀具的有效切削曲（qǔ）率和曲麵的有效（xiào）曲率半徑進行比較，從而進行局部幹涉的判（pàn）斷和處理。由於目前基於微分幾（jǐ）何法的（de）局部（bù）幹涉判斷和處理方法大都隻限於在進（jìn）給方向（xiàng）和垂直於進給方向的法截麵內進行曲率比較，而沒有考（kǎo）慮到刀具（jù）和曲麵在各個方向上的曲率變化，同時（shí）也（yě）沒有考慮到切觸點處鄰近區域（yù）的幹涉問題（tí）。因（yīn）此，基於法截麵的（de）二（èr）維分析方法實際上無法真實描述刀（dāo）具與被加工曲麵之間的相對運動[14]。

      環形刀由於其具有良（liáng）好的切削性能，且不易磨損（sǔn）等優（yōu）點，因此（cǐ）被廣泛應用在複（fù）雜曲麵的五軸數控加工中。與平底刀不同，環（huán）形刀的切削部位是圓環麵，因（yīn）此（cǐ），在切觸點處的切平麵上（shàng），沿著各個切線方向刀具都有可能和被加工曲麵發生過切。為此，本（běn）文提出了一種（zhǒng）基於全曲率匹（pǐ）配的局部幹涉檢測方法，該（gāi）方法將用於切觸點處由於刀具曲率和被加工曲麵曲率不匹配（pèi）的而引（yǐn）起的局部（bù）幹涉問題。此外除了考察切觸點處的過切幹涉外，還對切觸點鄰近區域的過切問題（通常也稱為後跟過切）進行了研究，提出了一種基於方形（xíng）點陣的檢測區域及檢測（cè）點的自動生成方法，詳細內容見下文所述。

1 五軸數控（kòng）加工模（mó）型及局部幹涉

     曲麵（miàn）五軸數控加工模型如圖（tú）1 所示，為被加工曲（qǔ）麵r(u(t), v(t))，X、Y、Z 分別為（wéi）工件坐標係的3 個坐標軸，CC 表示刀具和工件（jiàn）的（de）切觸點。以CC 點為坐標原（yuán）點建立工件局部（bù）坐標(x，y，z)，其中x 軸方向為CC 點處刀具的進給方向，即刀具路徑曲線的（de）切線方（fāng）向，z 軸方（fāng）向（xiàng）為（wéi）CC 點處曲麵的法（fǎ）矢方向，y 軸（zhóu）方向則根據右手定則（zé）確定。在圖1 中，xt 和zt 表示刀（dāo）具的坐標係，其（qí）坐標原點為刀具底麵的中心，xt 方（fāng）向為從刀具的（de）運動方向，zt 方向（xiàng）為刀具（jù）的軸線方向，如圖1 中所（suǒ）示。

    五坐標加工的刀具軌跡是由工（gōng）件坐標係中的刀位點位置矢量(X, Y, Z)和刀具軸線方向矢量組成，通常刀軸（zhóu）矢量是由其與工件局部坐（zuò）標係中（zhōng）坐標（biāo）軸相關的兩個角度來表示的，如圖中所示的傾角λ 和擺角，刀具首先以（yǐ）底麵中心點為支點繞。

2 局部幹涉的判斷（duàn）和處（chù）理

     本文中（zhōng），局部幹涉的判（pàn）斷和處理主要分兩步進行，首先對切觸點處的局部幹（gàn）涉進（jìn）行判斷和處理，采用全曲率匹配原則確定該點處無幹涉加工時的初始（shǐ）傾角λ1，然後（hòu）再考察（chá）其鄰近區域（yù）內的局部幹涉問題（tí），並由此確定最終的無局部幹涉的刀具傾角λ2。

      2.1 基於全曲率匹配的（切觸點（diǎn）處）幹涉（shè）判斷和處理

     為了實現在切觸點處刀具曲麵（miàn）與（yǔ）被加工曲麵在各個切向方向上的曲率匹配，首先需要確定其各自的主曲率，其計算方法（fǎ）如下所示。

       2.1.1 加工（gōng）曲麵及刀（dāo）具切削曲麵的主曲率（lǜ）計算

     根據微分幾何知識，對於複雜（zá）曲（qǔ）麵上非臍（qí）點的任意點P 處其主曲率（最大法曲率及最小主曲率）可由（yóu）下列方程得出[15] (EG  F2 )k 2  (EN  2FM GL)k(LN M2 )  0 （1）上式中，E、F、G 分別為曲麵的第1 類基本量（liàng），L、M、N 為曲（qǔ）麵的第（dì）2 類基本量，其計算（suàn）公式如下

      在公式（2）中，n 為曲麵的單位法矢（shǐ）量，下角標符號表示曲麵r(u, v)對該符號的偏導數。當給定曲麵上（shàng）一個確定的點時，其對（duì）應的第1 類基（jī）本量E、F、G 和第2 類基本量L、M、N 便可由上式求（qiú）出，將其帶入方程（1）中，便可（kě）求得該方程兩個不同的實根，其分別（bié）為該點（diǎn）處的最大法曲率（lǜ）Kmax 和最小法曲（qǔ）率Kmin。

      由於（yú）環形銑刀是（shì）一個典型的回轉曲麵（miàn），根據微分幾何理論可知其最大主（zhǔ）方向和最小主方向（xiàng）分別為（wéi）刀具曲麵經線（xiàn）（子午（wǔ）線）和緯（wěi）線的切線方向[15]，由Meusnier 定理及其主方向便（biàn）可求（qiú）出當刀具傾角為λ 時環形銑刀圓環曲（qǔ）麵的最大法曲率和最小法曲率為

      2.1.2 刀具半徑的選擇

    當在切（qiē）觸點CC 處的任意方向上，刀（dāo）具曲麵的法曲率小於被加工曲麵的法曲率時，就會產生（shēng）局部（bù）幹涉（過切）現（xiàn）象，因此，為了保（bǎo）證在切（qiē）觸點處沿任意方向上不發生（shēng）過切現象，可以通（tōng）過使刀具曲麵的最小法曲率（lǜ）大於或等於切觸點處被加工曲麵的最大（dà）法曲率來避（bì）免幹涉的產生。在（zài）每一個切觸點處（chù），被加工曲麵的最大（dà）法曲率Kmax是確定值，而刀具曲麵的最小法（fǎ）曲率kmin 由公（gōng）式（3）可知，其不但取決於刀具傾角，而且還（hái）與刀具半徑R1 和R2 有關，因此（cǐ）在加工（gōng）之前首先應選擇合理的刀具半徑。

     在（zài）選擇刀具半徑之前，首先要對被加工曲麵的形狀進行判別，即判斷是凸麵還是凹（āo）麵。曲麵的凸凹可根據該點處的兩個主曲率Kmax 和Kmin符號來進行判斷，這裏規定曲（qǔ）麵法矢向量n 的正方向為Z 軸的正（zhèng）方向，則當Kmax＜0 且Kmin＜0時（shí），說明是凸橢（tuǒ）圓點，在本文中規定，當兩個主曲率的符號（hào）都為負值時（shí），認為曲麵為凸麵，其餘都統稱為凹麵。當加工（gōng）曲麵為凸麵時，不存在局部幹（gàn）涉問題，而當曲麵為凹麵時，則有可能發生局部幹涉，因此，刀具半徑的選擇主要根據被加工曲麵凹麵最小法曲率半（bàn）徑來確定，即在被加工曲麵凹麵上對應最大（dà）法曲率的切觸點處，使得刀具最小法曲率大於等於凹麵的最（zuì）大法曲率。由公式（3）可知，隨著刀具傾角的增大，刀具最小法曲（qǔ）率也跟著增大，但在實際加工中，盡（jìn）可能（néng）取較小的刀具傾角，因為其值越小，加工帶越寬，加工效率越高[16]。但是，若傾角取得過小，由公式（3）可知刀具最（zuì）小法曲（qǔ）率也變得很小（xiǎo），這樣在切觸點處很容易發生（shēng）過切，因此，應當根據表麵形狀選擇一個合適的傾角來（lái）選（xuǎn）擇刀具。假設選擇傾角為0，則（zé）刀具的半徑值R1 和R2 可由下列公式得出

     上（shàng）式中 Kmax 為加工曲麵凹麵上最大的法曲（qǔ）率。由於方程（4）中有兩個未知數R1 和R2，為了求解R1 和R2 的值，本文采用迭（dié）代的（de）方法來尋求適合解，刀具（jù）半徑的選擇過程見圖2 所示（shì）。由於刀具半徑是由被加工曲麵凹麵的最（zuì）大（dà）法曲率（lǜ）決定的，因此在凹麵上其它切觸點處（chù），如果該點處最大法曲率小於凹麵的最大法曲率時，由公式（3）可知，其對應的傾（qīng）角＜ 0 ，即在這些切觸點處，隻需要（yào）較小的刀具（jù）傾角就可實現無局部幹涉的加工。

      2.1.3 切觸點處幹涉的判斷與處理

     傾角λ 直接（jiē）關係到零件的加工效（xiào）率，而擺角ω 主要是影響切削帶（dài）寬的對稱性，對加工效率影響較小，且（qiě）當 =0o，可得到最大的切削帶（dài）寬，因此在實際加（jiā）工（gōng）中，一（yī）般取 = 0o[7,13,17-19]，本文中亦設 = 0o。在加工之前（qián）首先（xiān）設置初（chū）始傾（qīng）角λ=5o，如果被加工曲（qǔ）麵是凸麵，則不存在幹涉問題，可取λ=5o 進（jìn）行加工，以獲得盡可能（néng）高的加工效率。當被加工曲麵為（wéi）凹麵時（shí），則需要對幹涉進行判斷和處理。在切觸點處，首先根據給定的初始傾角計算刀具的最小法曲率，並判斷其是否大於等於（yú）該點處曲（qǔ）麵（miàn）的最大法曲率，如果是（shì），則以初始傾角進行加工，否則增（zēng）大傾角，直到其等於或大於加工曲（qǔ）麵最大法曲率（lǜ）為止。當確定出滿足切觸點處不幹（gàn）涉的初始傾角1後，還需要對切（qiē）觸點（diǎn）鄰近區域（yù）的局部幹涉進行判斷和處理。若該區（qū）域無幹涉產生，則以初始傾角1 進行加工，否（fǒu）則通過增大傾角值來消除鄰近區域的局部幹（gàn）涉，如圖3 所示。

      2.2 切觸（chù）點鄰近區域的局部幹涉判斷和（hé）處理

      2.2.1 檢測區域及初始檢測點的確定（dìng）

    在對切觸點鄰近區域進行幹涉檢查之前，首先應建立檢測區域及確定檢測點。為（wéi）了保證刀具底端在加工曲麵上（shàng）投影區域內的點（diǎn）都位於檢測區域內（nèi），本文提出了一種基於正方（fāng）形網格劃分的方形點（diǎn）陣檢測區域和檢測點的確立方法。首先根據刀具半徑R1 和R2 確定出正方形（xíng）邊長為2(R1+R2)，然後在刀具（jù）切觸點CC 處，即圖4 中P0, 0點，從該點出發沿（yán）著刀（dāo）具進給方向的反方向依次計算出點P0, j( j=1,2,…,m)，即圖4 中帶叉形（xíng）符號的點。假設正（zhèng）方形（xíng）劃分間隔為Δl，則m =2(R1+R2)/Δl。當（dāng）所有的P0, j 點確定之後，再分別以P0，j點為基點，沿垂直於刀具進給方向，即圖4 中的列向方向，分別（bié）確定出P0, j 點所在列上其它（tā）所有點Pi, j (i=±1, ±2, …, ±n)的坐標值，這裏n=(R1+R2)/Δl。Δl 取值越小，則檢測精度越高。假設切觸點P0, 0 處對應的徑矢為r (u0, v0)，點P0, j ( j=1,2,…,m)處的徑（jìng）矢（shǐ）為r0, j (u, v)，則其可由下列式子得出

     上式中， 0 0 ( , ) t r u v 表示刀具在切（qiē）觸點CC 處沿刀具路徑的進給方向（xiàng）矢量，該方向可用刀具路徑（jìng）曲（qǔ）線（xiàn）的切線方向來表示。當點（diǎn）P0, j 確定後，即可求得沿垂直於刀具進給方向上點P0, j 所（suǒ）在列的其它（tā）點Pi, j 的坐標值（zhí）。為了（le）提高計算效率，在（zài）這裏對於P0, 0 點（diǎn）和（hé）P0, m 點（diǎn）所在列的其它點省去計算，即不計（jì）算圖4 中最左（zuǒ）及最（zuì）右列上的空心白點。假設其它任（rèn）意列（liè）上點的徑矢表示為, ( , ) i j r u v ，則其

    上式中， 0 0 ( , ) t r u v 表示刀具在切（qiē）觸點CC 處沿刀具路徑（jìng）的進給方向矢量，該方向可用刀具路徑曲線的切線方向來表示。當點P0, j 確定後，即可求（qiú）得沿垂直於刀具進給方向上（shàng）點P0, j 所在列的其它點Pi, j 的坐標值。為了（le）提高計算效率，在這裏對於P0, 0 點和（hé）P0, m 點（diǎn）所在列的（de）其它點省去計（jì）算，即不計算圖4 中最左及（jí）最右列上的空心白點。假（jiǎ）設其（qí）它（tā）任意列上點的徑矢表示為, ( , ) i j r u v ，則其可由下式求（qiú）得

     通過公（gōng）式(5)和(6)計算出的點集即（jí）為圖4 中方形網（wǎng）格中的實心黑點，在本文（wén）中，這些網（wǎng）格黑點即作（zuò）為初始的（de）候選檢測（cè）點。刀具在有傾角的情況下實際投（tóu）影為一個橢圓，橢圓的長徑為（wéi）刀具半（bàn）徑（jìng）(R1+R2)，而在本文中是（shì）以長徑為半徑確立了一個圓形（xíng）投影區域，如圖4 種所示虛線圓（yuán），這樣就能充分保（bǎo）證實（shí）際橢圓形投（tóu）影區域內的點都落在了圓形投影區域內。從圖4 中可以看出，大部分網格黑點落在圓形區域內，少數落在圓形區域外，由於（yú）我們隻對落於圓形區域內的點進行幹（gàn）涉檢驗，因此在進行幹涉檢查之（zhī）前，還需要從初（chū）始檢測點中選出有效檢測點。

      2.2.2 有效檢測點的篩選

     當確定出（chū）初始（shǐ）檢測點之後，接著需要進行有效檢測點的（de）選擇，即隻對（duì）落於刀具投影區內的黑點（diǎn）進行幹涉（shè）檢查。為了判斷初始（shǐ）檢測點是否落於刀具投影區域內（nèi），首先將方形檢測區域內的初始檢測點轉（zhuǎn）換為刀具（jù）坐標係中的點，然後再對其進行（háng）有效點的判斷。由曲麵坐標係向刀具坐標係轉換的矩陣公式如下（xià）M  M M  M   M  （7）上（shàng）式（shì）中， TM M 表示從工件坐標係到刀具（jù）坐標係的轉換矩陣， TL M 和LM M 則分別表示從（cóng）切觸（chù）點處的局部坐標係到刀具坐標係以及工件坐標係到（dào）局部坐標係的轉換矩陣。由圖1 所（suǒ）示的坐標係關（guān）係，可以得出其轉換矩陣為（wéi）

    切觸點CC 處徑矢r0(u0，v0)分別（bié）在工件坐標係(X， Y，Z )上的坐標分量值。假（jiǎ）設被加工曲麵上任一（yī）點其徑矢為r，則在工件坐標係中該點的3 個（gè）坐標（biāo）分量可表示（shì）為（wéi）：rX，rY 和rZ，將其轉化為刀（dāo）具坐標係中點的坐標值可由下式得出（chū）

     當將檢測區域內的初始檢測點轉變為刀具坐標（biāo）係中的點後，首先（xiān）要判斷該點（diǎn）是否落在（zài）刀具的投影區域內（nèi）。假設刀具坐（zuò）標係中點的坐（zuò）標（biāo）值為 (xt，yt，zt)，則當點的坐標值（zhí）滿足下列式子時，說明該點位於刀具投影區域（yù）內

     公式（shì）(14)即為判斷初始檢測點是否為有效檢測點的檢驗公式。為了提高檢（jiǎn）測效率，本文隻對滿（mǎn）足式(14)的有效檢（jiǎn）測點進行幹涉的（de）判斷和處理。

     2.2.3 幹涉的檢查及處理

     當有效檢測點位於（yú）刀具底平麵的下方時，則刀具與（yǔ）加工曲（qǔ）麵不發生幹涉，因此可以通過（guò）檢測有效點是（shì）否位於刀具底（dǐ）平麵下方（fāng）來判斷是否有（yǒu）幹涉發生，其判斷公式如式(15)所示。若 0 t z ，說（shuō）明檢測點位於刀具底平麵上方，即刀具與被加工曲麵之間有幹涉產生。

     局部（bù）區域的幹涉判斷和處理過程如下：

     1） 首先依次對所有有效檢測點的zt 值進（jìn）行（háng）判斷（duàn），若都滿足（zú）式(15)，則說明沒有局部幹涉產（chǎn）生，這（zhè）時就以切觸點處產生的初始傾角1 進（jìn）行加工；

      2） 若存（cún）在某些點，其zt的（de）值為

    由以上分析可知，當在切觸點處的鄰近區域發生幹涉時，可將初始的傾角1 增大為（wéi）2。而由公式（shì）（3）可知，當刀具半徑R1 和R2 為一定值時，刀具曲麵的最小法曲（qǔ）率隨（suí）著傾角 的增大而增大，因此當刀具傾角增大為2 時，在（zài）切觸點處刀（dāo）具與加工曲麵依然不會發生幹涉。切觸點鄰近區域幹涉（shè）判斷與處理的算（suàn）法流程圖（tú）見圖5 所示。

3 實例計算及分析（xī）

      本文以VC++及OpenGL 為開發工具，針對NURBS（Non-uniform Rational B-spline，非均勻的有（yǒu）理B 樣（yàng）條）曲麵的數控加工，采用基於等參數法的刀具軌跡生（shēng）成方法對上述幹涉算法進（jìn）行了驗證，其刀具軌跡如圖6 所示。為了提高計算效（xiào）率，利用NURBS 曲麵的（de）二次泰勒展開式來計算曲麵的第1 類基（jī）本量E、F、G 和第（dì）2 類基本量L、M、N。以一個給定的加工誤差δ=0.01mm，對加工（gōng）軌跡曲線進行（háng）點（diǎn）的離散，通過計算各離散點處的最（zuì）大法曲（qǔ）率，確定出加工曲麵凹麵上的最大法曲（qǔ）率Kmax=0.063，根據該最大法曲率初步選定刀具（jù）半（bàn）徑值R1=6mm，R2=5mm，然後給定（dìng）一個刀具傾角λ0=30o、R2min=2mm，以及刀具半徑的變化量ΔR1=0.2mm 和ΔR2=0.2mm，通過迭代求解（jiě），得（dé）出環形銑刀最終的R1=6mm，R2=3.8mm。為了驗證以λ0=30o 作為刀具半徑選（xuǎn）取依據是否合理，本文還分別對不同（tóng）的λ0 值，計算出其對應的刀具半徑值，其計算結果如表（biǎo）1 所示。從該表中可以（yǐ）明顯看到，隨著λ0 值的增大，刀具的半徑值也隨著增大，雖然大的刀具半徑能夠提高切削效率，但（dàn）是考慮到切觸點鄰近區域的幹涉，最終的刀具傾角值可能會（huì）更大，這樣不但會造成傾角（jiǎo）超出機床允許的角度範（fàn）圍，而且還有可能使得刀具與加工曲麵發生碰（pèng）撞現象（全局幹涉）。同樣，若是值（zhí）取得過小，則刀（dāo）具尺寸（cùn）也相（xiàng）應減小，過小的刀具尺寸不但影響加工（gōng）效率，而（ér）且也影響刀具的切削強度，因此，經過以上綜合分析，可以看出本文（wén）選取的λ0 值（zhí）是比較（jiào）合理（lǐ）的。

4 結（jié） 論（lùn）

     本文針對光滑的具有C2 連續的複雜（zá）曲麵環形刀五軸數控加中的局部幹涉問題，提出了一種基於曲（qǔ）率匹配及網格點的幹涉檢測方法。采用曲率匹配法能充分保證在切觸點處沿各個方向上刀具曲麵和（hé）被加工曲麵不會發生過切現象，而采用網格點能夠快（kuài）速建立檢（jiǎn）測區域和檢測點，因此，與傳統幹涉處理算法相比，本文的局部幹涉（shè）處（chù）理算法具有（yǒu）更高的效率和可靠性。由於五軸加工相比於三（sān）軸加工具有更多地優越性，因此，在複雜曲麵加工（gōng）領域五軸加工占有越來越重要的地位。本文針（zhēn）對五軸加工中有關刀具幹涉問題的研究，將為實現我國未來高精度、高速度（dù）的數字化製造奠定了基礎，因（yīn）此，具有很重要的現（xiàn）實和（hé）應用意義。