0 前（qián）言

      隨著數控(Computer numerical control, CNC)機床日益向高速度、高剛度、高精度的方向發展（zhǎn），數控機床及其核心功能部件（jiàn）的關鍵技術研究越來越受到重（chóng）視。重載機械式主軸（zhóu）係統是重型數控機床的核心（xīn）功能部件，具有大功率（lǜ）和大扭（niǔ）矩特點，主要用於鋼、鐵、鈦合金等高硬度、難加工材料的大型複雜曲麵零件（jiàn）加工，如三峽工（gōng）程水輪（lún）發電機的大型（xíng）葉片、大型船舶推進器、核電站核島關鍵零件和大型汽車覆蓋件模具等特殊零件的加工。主軸部件在自身轉動和（hé）切削力作用下，容易引起自激和強迫（pò）振動，降低主軸係統的加工（gōng）精度和工件的表麵質量，其動態特性（xìng）直接影響數控機（jī）床的加工性能。因此，為使重型數控機床主軸係統具有剛度高、振動小、噪聲小等良好性能，需要研究主軸係統的動態特性，改善其薄弱環節（jiē），減小其對（duì）數控機床整機的（de）動態性能的影響。重載機械主軸的有限元建（jiàn）模及模態分析正（zhèng）是主軸動態特性分析的（de）重要組成部分和進一步動力學分析的基礎。

      主軸係統的動態特性對機床的加工（gōng）精度和切削效率（lǜ）有（yǒu）直接的影響，會影響到表麵（miàn）粗糙度、顫振、刀具壽命和噪聲等，故主軸動態特性研究一直是研究熱點。目前，主軸係統動態特性分析方法主要有有限元法、集中參數法和傳遞矩（jǔ）陣法等[1]，也有（yǒu）用邊界元法進（jìn）行主軸動態特性分析，它是一種半數值半解析法，具有降維性以及解析精度高等優點，但由於邊（biān）界元法方麵的數值計算軟件較少，邊界元法應用較少。WANG 等[2]把主軸考慮成瑞利梁模型，把角接觸球軸承考慮為徑向和傾斜（xié）彈簧和阻（zǔ）尼器（qì），並通（tōng）過建立的有限元模型表明附加的傾（qīng）斜特性對高階（jiē）振動模態有重要影響KOSMATKA[3] 基於Hamilton 原（yuán）理（lǐ）建立了（le）二維Timoshenko 梁模型，並在此基礎上進行了（le）有軸向（xiàng）力作用下梁的穩定性分析和振動分析，為主軸建模分析奠（diàn）定了基礎。CAO等[4]的主軸係統模型中包含了離心力、陀螺效（xiào）應、軸承接觸角、預載、主軸轉子和軸套偏移等影響（xiǎng），把主軸和主軸上的剛性圓（yuán）盤都當做（zuò）Timoshenko 梁來處理。所有的模型中，LI 等[5-7]建立的機械—熱特性電主（zhǔ）軸係統動力學模（mó）型（xíng）最（zuì）為全麵和完（wán）整，該模型包（bāo）含一（yī）個綜合的軸承動態模型、一個主軸動（dòng）態模型和一個熱模型，熱模型（xíng）通過軸承配（pèi）置中的熱膨脹和在（zài）整個係統中的熱傳遞與主軸動態模型耦（ǒu）合起來，計算軸承的熱膨脹及其引起的動態特（tè）性（xìng）變化。GAO等[8-9]在主軸係統（tǒng）動力學（xué）研究方麵較為前沿（yán），用（yòng）龍格—庫（kù）塔數值模擬主軸—滾動軸承係統三種分岔形式，分別為擦邊（biān）分岔、倍化分岔（chà）、環（huán）麵倍化分岔。羅筱英等[10]研究了結構參數對砂（shā）輪主軸係統動態性能的影（yǐng）響，指出支撐剛度對模態影響較（jiào）大，剛度增加可使第一階固有頻率較大幅度地提升，支撐跨距對模態的影（yǐng）響相對較小。JIANG 等（děng）[11]考慮了拉杆對銑削電（diàn）主軸動力學性能（néng）的影響，通過使用傳遞矩陣法和一個包括離心力和（hé）陀螺效應的非線性滾（gǔn）動軸承動力學模型建立了一個主軸（zhóu）—拉（lā）杆—軸承係統雙回轉軸（zhóu）模型。姚廷強等[12]建立了數（shù）控萬（wàn）能工具（jù）銑床主軸係統（tǒng）數字樣機（jī）並進行了動力學（xué）分析，主軸係統考慮為剛（gāng）柔（róu）耦合多體係統進行（háng）建模仿真分析。熊萬裏等[13]綜述了氣體懸浮電主軸動（dòng）態（tài）特（tè）性研究進展，深入分析和總結了氣體懸浮電主軸動態特性的（de）影響因（yīn）素。

      本文以具有（yǒu）大功率、大（dà）扭矩特點的機械式主軸為研究對象，首先，基於Timoshenko 梁理論建立了重載機械式主軸的運動方程，並采用有限元法得到主軸的矩（jǔ）陣形式的動力學方程；同時，在有限元軟件中分別（bié）以實體單元和梁（liáng）單元對主軸進行有限元劃分，對軸承以Combin14 彈簧單元劃分，並以自由模態和實際工況約束（shù）條件（jiàn）下進行多約束狀態下（xià）的重（chóng）載機械式主軸的（de）模態分析；根據軸承型號計算了軸承的徑向剛度，作（zuò）為重載主軸（zhóu）模態分析中彈簧單元的剛度參數；然後進行了主軸錘擊模態測試，測試結果較好地驗證了重載（zǎi）機械式主軸多約束狀態下模態分析結果。研究結果為重載機（jī）械主軸係統的進一步優化設計和精（jīng）度控製（zhì）提供依據。

      1 擺角（jiǎo）銑頭（tóu）及主軸結構

      擺角銑頭結構如圖（tú）1 所示，主軸係統（tǒng）是銑頭（tóu）的重要組成部分；主軸相關參數如表1 所示。擺角銑頭主運動通過滑枕鏜銑頭主軸端麵的端麵鍵（jiàn）將主軸（zhóu）的轉速及動力傳給擺角頭的輸入軸，該運動通過擺角頭內兩對直（zhí）齒（chǐ）輪和兩對等高齒螺旋傘（sǎn）齒輪傳遞（dì）到擺角頭的主（zhǔ）軸。擺角頭主軸前支撐為兩組角接觸球軸（zhóu）承組成，主軸的後支（zhī）撐為一組角接觸球軸承，這樣的組合（hé）保證主軸具有足夠的剛（gāng）度和主軸（zhóu）回轉精度。

      2 主軸有限元模型的建立

      2.1 基於Timoshenko 梁理論的主（zhǔ）軸（zhóu）有限元建模

      對主軸以Timoshenko 梁理論進行建模，主軸上任意點的坐標與主軸（zhóu）位移u,v,w, y , z有關。假設主（zhǔ）軸軸線與笛（dí）卡爾坐標係x 軸一致，主軸上任意一點繞y 軸旋轉– y  ，然後繞z 軸旋轉– z ，則主軸上的任意點坐標為（wéi）

      考慮到角位移y 和z 非常小，對於式(3)中的x項以cos 1 z  ，對於式(3)中（zhōng）的y項以sin z sin y 0   

來簡化高階旋轉項，則由位移u,v,w, y ,z而決定的主軸上任意點最終坐標為

      如果考慮二階應變，任意點（diǎn）的應（yīng）變表示（shì）為

      式中 E —— 主軸材料彈性模量

      G —— 主軸材料（liào）切變模量

      ks—— 剪切係數

      V ——主軸體積

      把式(11)代入式(12)後，忽略三階項

      式中（zhōng） I —— 主軸（zhóu）轉動慣量

      J ——主軸極慣性矩

      p ——主（zhǔ）軸軸向力

      未受應力的主軸靜態平衡方程的齊次形式（shì）為

      根據邊界條件並將式(17)代入式(16)，得（dé）到a0～e2 16 個係數，再將式(17)代入式(14)並對整個主軸長度積分，即可得到主軸單元矩陣形式的動力學（xué）方程（chéng）式

      式中（zhōng） m —— 質量矩陣

      mc—— 計算離心力的質量矩陣

      g—— 反對稱陀螺矩陣

      k —— 剛度矩陣

      kp —— 軸向力引起的剛度矩陣

      本文主要研究多約束狀態下主（zhǔ）軸有限（xiàn）元建模、模（mó）態分析和試驗，對軸向力及轉速的（de）影（yǐng）響，此處不做考慮，因此式(18)變為

      根據質量陣和剛度陣，可得到主軸的固有（yǒu）頻率。

      2.2 自由狀態及節點（diǎn）約束的主軸有限元模型

      主軸選用SOLID45 單元（yuán）進行定義，單元具有（yǒu）塑（sù）性、蠕（rú）變、膨脹、應（yīng）力強（qiáng）化（huà）、大（dà）變形和大應變能力（lì）。主軸的材料為合金結構鋼，彈性模量為206 GPa，泊鬆比為0.3，密（mì）度為7 800 kg/m3。采用（yòng）手動映射網格劃分的方法，對主（zhǔ）軸進行網格劃分（fèn），劃分後共得（dé）到10 708 個節點，8 836 個單（dān）元，此即自由狀態下主軸的（de）有（yǒu）限元（yuán）模（mó）型。約束（shù）直接加在節點（diǎn）上的主軸有限元模型在主軸自由（yóu）狀態有限元模型基礎上建立，對軸承處主軸上的一圈節點進行約束（shù），前（qián）支撐為兩組角接（jiē）觸球軸（zhóu）承，後支撐為（wéi）一組角接（jiē）觸（chù）球軸承，故（gù）前支撐節點（diǎn）進行全約束，後（hòu）支撐節點軸向自由度放（fàng）開。

      2.3 自由狀態（tài）及節（jiē）點約束（shù）的梁單元主軸有限元模型

      實際研究中，常將主軸簡化為（wéi）梁單元（yuán）進行分析（xī），這種情況下計算效率更高，結果也更為（wéi）準（zhǔn）確。

      ANSYS 提供了（le）梁單元Beam188 ， 此單（dān）元基於Timoshenko 梁理論，並考慮了（le）剪切變形的影（yǐng）響。本（běn）文主軸屬於短粗梁結構（gòu），較適合用此（cǐ）單元進行有限元建模，此（cǐ）時主軸截麵根據主軸等剛度原理進行了均一簡化。

      對梁采用約束軸承位置處的節點方（fāng）法進行，主（zhǔ）軸前支撐為（wéi）相反方向的（de）兩組角（jiǎo）接觸球軸（zhóu）承，後支撐為（wéi）一組角接觸球軸承，故前支撐節點進行全約束，後支撐節點軸向（xiàng）自由度放開。

      2.4 彈簧單元（yuán）約（yuē）束下梁單元主軸有限元模型（xíng）

      把主軸劃分為梁單元的分析（xī）過程中，可以把軸（zhóu）承的剛度係數直接（jiē）考慮進來。在主軸的（de）軸承安裝位置處沿圓周方向均布4 個彈簧單元來模（mó）擬軸（zhóu）承的彈性支承，布置方式如圖3 所示。其中彈簧單元（yuán）外節點全部約束，前支撐為一對（duì）角接觸球軸承，故對其內節點軸向（xiàng）自由度進行約束，後支撐內（nèi）節點保持自由狀態。

      ANSYS 中提供了（le）模擬軸承的（de）彈簧單元（yuán）Combin14，該單元具有一維、二維或三維應用中的軸向拉伸或扭轉的性能，可以（yǐ）較好地模擬軸承（chéng）的剛度。彈簧單（dān）元Combin14 需要輸入彈（dàn）簧剛度參（cān）數，本主軸采用由SKF 公司所（suǒ）生（shēng）產的高精密主軸軸承，軸承的型號為71924ACD/P4A。

      單個軸承預緊（jǐn）後的徑向剛度kr 可采（cǎi）用如式(20)進（jìn）行計算

      式中 Z ——軸承（chéng）滾動（dòng）體數目

      Db ——軸承滾動體直徑

       ——軸承接觸角

      Fa0 ——軸承預緊力

      由SKF 提供的（de）軸承（chéng）相關參數如（rú）表2 所示。

      代入以（yǐ）上參數（shù）計算後得（dé）到軸承的徑向剛度kr50.7 MN/mm 。

      彈簧單元約束下的梁單（dān）元有限元模型，在軸承位置處采用Combin14 彈簧（huáng）單元進行（háng）模擬，彈簧（huáng）單元外節點（diǎn）全約束，前支撐內節點軸向約束，後支（zhī）撐內節點保持自由狀態，此時共得（dé）到760 個節點，757個單元。

      3 多約束狀態下主軸模態分（fèn）析

      主軸動力學（xué）模型建好（hǎo）後，分別（bié）基於以上有限（xiàn）元模型進行以下情況（kuàng）的主軸模態分析。基於Timoshenko 梁的主（zhǔ）軸固有頻率的計算、自（zì）由狀態下主軸實（shí）體模態（tài）分析、節點約束的主軸實體（tǐ）模態分析、自由狀態下Beam188 梁單元的主軸模態分析、節點約束的Beam188 梁單元主軸（zhóu）模態分析和彈簧單（dān）元約束下Beam188 梁單元主軸模（mó）態分析情況。由於主軸的（de）1 階和4 階模態對主軸前端影響較大，最容易影響主軸的切削穩定性。因此，在如下模態分析中給出主軸前6 階頻（pín）率以及1 階（jiē）和4 階的振型。

      3.1 自由狀態下主軸模態

      在完全自由狀態下對主軸（zhóu）進行模態分析，不施加任何（hé）約束，前6 階頻率（lǜ）如表3 所示。由於主軸在完全自由狀態下，所以主軸前6 階振（zhèn）動為剛體運動，為主軸剛體模態，固有頻率為零，從第7 階開始具有頻（pín）率值，當（dāng）做第1 階模態。1、4 階振型（xíng）如圖4所示。

      從圖4 可以看出，1 階振型為主軸一（yī）次彎曲；4階振（zhèn）型為主軸收縮，是由於主軸大端具有刀（dāo）柄結構，且主（zhǔ）軸刀柄端直徑較大，為主（zhǔ）軸高階振型的表現。

      其意義在於，主軸收縮對主軸、軸承的配合、間隙以及預緊具有重要影響，但（dàn）4 階時頻（pín）率（lǜ）較高，實際機械主軸達不到如此高的頻率（lǜ）。

      主軸為軸對（duì）稱結構，1、2 階頻率相近，為主軸沿兩個徑向方向振動（dòng）的頻率，振型為沿兩個徑向方向的振（zhèn）動。

      3.2 節點約束的主軸模態

      對主（zhǔ）軸采用在主軸上軸承處的一圈節點進行約束，前支撐節點進行全約束，後支（zhī）撐放開其軸向自由度。求解後，各階頻率如表4 所示，1、4 階（jiē）振型如圖5 所示。

      從圖5 可以看出（chū），1 階振型為主軸彎（wān）曲，4 階為主軸扭轉。

      3.3 自由狀態下Beam188 梁單元的主軸模態

      采用自由狀態下簡化為梁單元的主軸有（yǒu）限元模（mó）型進行模（mó）態分析，同樣，前6 階為主（zhǔ）軸剛體模（mó）態，頻率為零，從第7 階開始，其前6 階頻率如表5 所示，1、4 階振型如圖（tú）6 所示。

      一次（cì）彎曲，4 階振型為主軸二次彎曲。

      3.4 節點約束的Beam188 梁單元（yuán）主軸模態

      采用主軸簡化為梁單元狀態下的有限元模型進行模態分析，施加約束求解後，前6 階頻率如表6 所示，1、4 階（jiē）振型如（rú）圖（tú）7 所示。

      通過動畫及振型圖可以看出（chū），1 階振型為主軸一次彎（wān）曲，4 階為主軸扭轉（zhuǎn）。

      3.5 彈簧單元約束下Beam188 梁單元的（de）主軸模態

      主軸簡化為梁單元並施加彈簧剛度，求解後（hòu），前6 階頻率如表7 所示，1、4 階振型如圖8 所示。

      從圖8 可以看出（chū），1 階振型為主軸（zhóu）一次彎曲，4階振型為主軸前端（duān）彎曲。

      3.6 模態結果分析比較（jiào）

      表8 為各種情況下主軸模態有限元分析（xī）結果的對照表，圖9 為主軸頻率比較折線圖。

      從表8 和圖9 可以看出，實體單元本身頻率比較時，約束狀態的（de）頻率比（bǐ）自由狀態（tài）下的高（gāo）出300Hz，是由（yóu）於施加約束後，主軸（zhóu）剛度隨之增加的緣故。主軸（zhóu）劃分為梁單元時，Timoshenko 梁單（dān）元計算的結果和Beam188 梁單元自由狀態下的一階頻率誤差隻有1.4%，Timoshenko 梁的（de）計算結果偏高。約束加在梁單（dān）元節點上的一階頻（pín）率為最（zuì）高，彈簧單元約束梁情況（kuàng）的頻率（lǜ）和（hé）Timoshenko 梁的誤差隻有0.6%。以上表明，Timoshenko 梁和Beam188 單元來計算主軸的固有頻率更符合實（shí）際情況，因為（wéi）Timoshenko梁情況考慮因素最為全麵，而加入彈簧單元後（hòu）的梁單元更符合（hé）主軸係統的實際工況。從結果上可以看出，針對短粗的主軸結構，采用具有剪切效應的Timoshenko 梁或Beam188 單元對主軸計算，計（jì）算結果（guǒ）更為準確。由於實體單元自（zì）由（yóu）度的（de）限製，實體單元計算的主軸模態誤（wù）差較大，與Timoshenko 梁計算結果（guǒ）比，誤差達11.4%。因此，在（zài）沒有試驗的情況下，對（duì）主軸進行（háng）Timoshenko 梁計算和（hé）把主軸考慮為具有剪切效應的Beam188 梁單元並加入彈簧單元約（yuē）束兩種方式的計算結果更為準確。

      4 重載機械式主（zhǔ）軸試驗

      本試驗采用LMS振（zhèn）動測試（shì）係統配備BK加速度（dù）傳感器（qì）對主軸進（jìn）行振動測試。由於主（zhǔ）軸結（jié）構和質量較小（xiǎo），較小的瞬間激勵力即（jí）可把主軸的前幾階頻（pín）率和振型激勵出來（lái），故將主軸用軟繩吊起模擬自由狀態，激勵（lì）方（fāng）式采用力錘進行激勵，主軸現場測試如（rú）圖10 所示。主軸為對稱結構，沿主軸軸線共布置了八個加速度傳感器，在主軸前端進（jìn）行徑向激勵，激勵方向與傳感器感應方向一致。自由模態頻率比較（jiào）折（shé）線如圖11 所示（shì），試驗及主（zhǔ）軸考慮為Timoshenko梁的仿真頻響如圖12 所示。由於主軸為對稱結構， 1、2 階（jiē）為主軸兩個徑（jìng）向方向的模態，因此試驗（yàn）時，隻提取了1 階模態；3 階模態為主軸的扭轉，單方向的傳感器不能有效測試出來；4、5 階為主軸（zhóu）沿兩個徑向方向的2 次（cì）彎曲，試驗（yàn）中提取了4 階模態。

      由頻響函數可知，低階時試驗數據（jù）與主軸仿真數據有一定誤差，誤差為7.2%，在可（kě）接受範圍之內。產生誤差（chà）的原因是在以Timoshenko 梁建模時對（duì）主軸（zhóu）的階梯和錐孔等進行了簡化，盡管本著等（děng）剛度原則，但質（zhì）量變小，頻率仍然偏高，另外，試驗過程中測試環境、傳感器等對準確的測試結果也有（yǒu）影響。

      5 結論

      (1) 進行了基於Timoshenko 梁的重載（zǎi）主軸建（jiàn）模，建模過程中考慮了主軸的剪切力和轉動（dòng）效應，在動力學方程中包括了離心（xīn）力引起的質量矩陣、反對（duì）稱陀螺（luó）矩陣（zhèn）及由於軸向力引起的剛度矩（jǔ）陣。

      (2) 把主軸考慮為Timoshenko 梁單元和Beam188 梁單元進行主軸有限元建（jiàn）模和模態分析時，結果更為準確，彈（dàn）簧約束梁情況更符合實際情況。彈簧單（dān）元約束梁和Timoshenko 梁情況的主軸一階頻率誤差隻有0.6% ； Timoshenko 梁單元和Beam188 梁單元自（zì）由狀態下的一階頻率誤差為1.4%。

      (3) 主（zhǔ）軸模態試驗為驗證（zhèng）主軸有限元建模及模態分析準確性的直接手段。但Timoshenko 梁建模時有一定（dìng）簡化，以及試驗過程中本身的一些（xiē）誤差，因此試（shì）驗與仿真的結果（guǒ）雖然有一（yī）定誤差，但在允許範圍之內。

      (4) 仿真（zhēn）與試驗對比時，試驗模（mó）型和計算及仿真模型的一致性非常重要。如差異（yì）較大，隻能驗證建模方法的正確性或驗證結果的趨（qū）勢，很難得到數值的一致性。