摘　要：為了降低加工過程的熱誤差，提高數控機床加工精度，基於時序相（xiàng）關分析理論（lùn）與數值計（jì）算方法，建立了一種以溫度場分布（bù）及加工參數為輸入的新型（xíng）機床（chuáng）主軸熱誤差建模方法．所建（jiàn）模型（xíng）由熱誤差模型、主軸動壓（yā）軸承熱特性（xìng）模型以及（jí）主軸熱傳遞模型三部分組（zǔ）成．該方法首先根據時（shí）序相關理論建立熱誤（wù）差與溫度測點之間（jiān）的相關模型，再通過灰色相關理論完成關鍵溫度測（cè）點位置與數量（liàng）的優化，同（tóng）時，基於數值計算與熱傳導理（lǐ）論，建立了動壓主軸（zhóu）係統熱特性模型．以一台大型龍門導軌磨床為（wéi）實驗對象（xiàng），建立了磨床主軸箱（xiāng）熱誤差預測模型．實驗（yàn）結果表（biǎo）明，所建立的熱誤差模型具有良好的熱誤差辨識性能．
   
        關（guān）鍵詞：時序相關分析；雷諾方程（chéng）；有限差分法；熱誤（wù）差
 
       機床熱誤差是（shì）精密加工誤差（chà）的主要來源之一，對其控（kòng）製和（hé）補償是提高機床加工精度的關鍵技術［１］．機床（chuáng）熱誤差補償涉及熱（rè）誤差檢測、熱誤差預測模型和熱誤（wù）差實時補償三類問題，其中熱誤差（chà）預測（cè）模（mó）型的建立最為關鍵（jiàn）［２］．
 
       機床熱（rè）誤差（chà）控製的最新技術是基於熱（rè）誤差預測（cè）模型的誤差實時補償技術（ＲＴＥＣ）［３］．由於機床熱誤差可以看（kàn）作是關於機床熱分布、位置以及運動方（fāng）向的（de）確定性函數［４］，故而，可以建立以機床溫度場分布和運動方向為自變量（liàng）的熱誤差模型．同（tóng）時，機（jī）床溫度場分布特性可以用若幹（gàn）溫度測點處（chù）的數據來表（biǎo）征［５］．
 
      本文運用（yòng）時間序列分析理論（lùn）擬合熱誤差與相關（guān）溫度測點數據（jù）之（zhī）間的關係，采用數值計算方法建立某高精度磨床（chuáng）主軸熱特性模型，提高了此類熱誤差（chà）模（mó）型的預測精度和魯棒性．
 
      １、　機床熱誤差模型的理論基礎
   
      １．１　時序分析建模方法
   
      時序分析是對觀測所得的有序隨機數（shù）據進行分析和處理的一種方法，適用於輸入不（bú）可測或不確定測量數據（jù）的描述（shù），常被用（yòng）於機床（chuáng）熱誤差建模．
   
      根據時（shí）序分析理（lǐ）論［６］，對一組測點進行第ｉ次測量（liàng）的熱誤差χｉ可以（yǐ）分解為兩部分，如式（１）和式（shì）（２）所示，一部分是確定性部分，完全取決於各溫度測點處溫度序列Ｔｒ，ｉ的線性組合ｆ（ｉ）；另一部分是（shì）隨機性（xìng）部分，完全獨立於Ｔｒ，ｉ ，由殘量εｉ確定（如（rú）儀器（qì）的測量誤差）．同時，假定（dìng）εｉ是零均值的獨立序列，即白噪聲序列，因而，對於不同ｉ值，εｉ是相互獨（dú）立的．
 

 
      采用一階自回歸模型描述殘差，如式（shì）（５）所示：
 

      綜上（shàng）所（suǒ）述，由一組測點確定的熱（rè）誤差（chà）計算模型如式（７）所示：

     １．２　機床溫度測點優化方法
   
    機床各（gè）部分溫度的分布特性是熱誤差產生的內在原因，因而，溫（wēn）度測點數量和位置（zhì）的選取將直接影響式（shì）（７）計算誤差的準（zhǔn）確性．基於已有的測試數據，采用灰色關聯度分析方法進（jìn）行（háng）溫度測點位置和數量的優化選取，可以將測點數目控（kòng）製在合理（lǐ）範圍內的同時，提高式（７）的計算精度．
 
    灰色關（guān）聯度分析是按照係統中各特征參量序列之間（jiān）的相似程度進行係統分（fèn）析（xī）的一種方法（fǎ）［７－８］，保證各特征參量間的等效性和同序性，是進行關聯度分析的前提．
 
    采用（yòng）極差變換法的一種改進形式，對熱誤差與各溫度測點的實測結果進（jìn）行無量綱化處理，如式（８）所示：
  
    

     
  
     將各個比較序列對同一（yī）參考序列的關聯度按大小順序排列起來，即組成了反映各個比較序列對同一參考序列的（de）“主次”關係的關聯序．依（yī）據關聯（lián）序即可對磨床主軸各（gè）溫度測點位置分布及測點數量進行優化處理．
   
    １．３　動（dòng）壓軸承的熱特（tè）性建模方法
   
    精密磨床運行時，主（zhǔ）軸軸承的摩擦熱是熱（rè）誤差的主要來源，通常也是主要的溫度測（cè）點．在機床的實際運行中，高速旋轉和結構（gòu）複雜的特（tè）點，難以用傳感器對軸承處的溫度進行準確測量．通過建立主軸的（de）熱特性描述模型，計算不同工況下主軸軸承（chéng）處的溫度參數用於熱誤差建模，對於提高模型的精（jīng）度和適用性都有主要意義．
 
    建立主（zhǔ）軸動壓滑動軸承油膜熱特性計算模型的思路是通過對（duì）雷（léi）諾方程、溫粘方程等的聯立求解，得到動壓軸承達到平衡狀（zhuàng）態時（shí）的平均溫度．計算流程如圖１所示．
 
    由於剛性徑向滑動軸承的油膜壓強分布（bù）滿（mǎn）足雷諾方程，基於相似理論，將坐（zuò）標原點置於軸（zhóu）承軸線（xiàn）上，且位於軸承寬（kuān）度的１／２處，對雷諾（nuò）方程進行無（wú）量綱化後得到［９］：
  
    

   
  
        圖１　主軸動壓軸承熱（rè）特性計算流程圖
 
    式（１１）基於如下（xià）假設：
 
    １）潤滑油（yóu）重量及慣性（xìng）力忽略不計；
    ２）油膜為牛頓流體，且為層流；
    ３）潤滑油不可壓縮；
    ４）潤滑油為定常流體；
    ５）載荷方向為垂直於軸向．
    
    

     
  
     求解（jiě）上述（shù）方程時，先確（què）定承載區四（sì）周邊界的壓強，進而求解整個求解區域上的壓強分布（bù）．
 
    １．３．２　油膜偏位角的修正
 
    由於已知載荷方向，為了（le）確保油膜壓力分布求解（jiě）的準確性，需要進行油膜偏（piān）位角的校核，從而保證油膜承載力的合（hé）力與載荷方向相反．  
  
   

    已知（zhī）載荷方向為垂直於軸（zhóu）向，則軸承的偏位角應保證油與膜合（hé）力方向相反，采（cǎi）用迭代法求解（jiě）穩定狀態下軸承的偏位（wèi）角．修（xiū）正方程（chéng）為：
     
    
  
     １．３．３　溫粘方程的求解
      
    

    
    
     １．４　主軸熱傳遞模型
   
     已知主軸運轉過程中，動壓軸承油（yóu）膜溫度如式（２１）所示（shì），下麵討論求解主軸熱特性分（fèn）布的另一個關鍵條件，即主軸熱（rè）傳遞模型．
 
      采用圓柱坐標（biāo）係描（miáo）述主軸溫度分布，則（zé）不含（hán）內熱源的非穩態導熱微分方程為

     
  
      其（qí）中，Ｔ 為溫度，ｒ 為（wéi）半徑，ｚ 為軸向坐標，ｔ為時（shí）間，α為主軸散熱係數．
 
      式（２２）還基於（yú）如下假（jiǎ）設：
 
     １）主軸材質均勻且各向同性；
     ２）主軸材料的特性係數為常數；
     ３）物體內無溫度躍變或物體相變；
     ４）主軸溫度不隨（suí）角度φ 的變化而變化．
 
    采用分離（lí）變量法，假定式（２２）有如下變量分離（lí）形式的解（jiě）：
  
    

    
  
    ２　、熱誤差模型精度分（fèn）析
   
    下麵以某高精度龍門導軌磨床主軸（zhóu）箱係統（如（rú）圖２所示）為研（yán）究對象（xiàng），依據上述研（yán）究結果進行測試和建模，並對熱誤差模型（xíng）精度進行分析驗證．
   
    首先根據經驗和初步分析確定（dìng）１２個測（cè）試（shì）點：主軸後端皮帶輪附近布置２個測點（diǎn）（１～２號測點）；主軸箱體上布置４個測點（diǎn）（３～６號測點）；主軸（zhóu）前段布置３個測點（７～９號（hào）測點）；電機上布置１個測點（１０號測點）；安裝座（zuò）上布置（zhì）２個測點（１１～１２號測點（diǎn）），如圖２所示．進行（háng）溫度測試（shì）采樣．測試條件為，磨頭主軸以１　０４０ｒ／ｍｉｎ和１　５００ｒ／ｍｉｎ的恒定轉（zhuǎn）速各（gè）空載運行２．５ｈ，每間隔５ｍｉｎ用非接觸式（shì）紅（hóng）外溫度測量儀測量１２個（gè）測點的溫度各一次，與此同時，用（yòng）千分表測量（liàng）主軸在Ｘ，Ｙ，Ｚ 三（sān）個方向上對應的（de）熱漂移，總共獲取２組溫度和熱誤差數據．
 
     ２．１　主軸箱係統溫（wēn）度測點優化
   
     采用灰色（sè）關聯度分析法，將所測得的主軸在（zài）Ｘ，Ｙ，Ｚ 三個方向上的熱誤差作為參考序列，所測得的１２組溫度測點數據作為比較（jiào）序列．利用式（８）對各數據序列進行處（chù）理，通過式（９）和式（１０）求得各比較序列與參考（kǎo）序列間的灰關（guān）聯度，如圖３所示．
 
     經過關聯度大小（xiǎo）的對比，排除關聯度小的溫度測點後，確定（dìng）影響（xiǎng）主軸三個方向熱漂移的關鍵（jiàn）溫度測點總數由１２個降低為（wéi）８個，分別是：１號、３號、４號、５號、６號、７號、１１號及１２號等８個溫度測點．其中，１號與７號測（cè）點位於主軸（zhóu）軸承處，需采用２．３節與２．４節建立的熱特性模型對該兩個測點處的溫度進行預測．
 

     圖２　龍門導軌磨床主軸箱係統（tǒng）溫度測點（diǎn）布（bù）置圖
   

    
    
           圖３　熱誤差與溫度測點間的關聯度
     
     ２．２　主軸熱特（tè）性建模與精度分析
   
     實驗中（zhōng）所采用的磨床的主（zhǔ）軸箱動（dòng）壓軸承及其潤滑油的參數包括：寬徑比０．８，初始偏位（wèi）角９０°，偏心率０．５，軸（zhóu）頸半徑０．１２０ｍ，軸瓦（wǎ）半徑０．１６７ｍ，內切
圓半徑０．１２１ｍ，軸承（chéng）張角１４７°，初始潤滑油動力粘度０．０２Ｐａ·ｓ，初始潤滑油溫度２８℃，潤滑油比（bǐ）熱１　８８８Ｊ／（ｋｇ·℃），潤（rùn）滑（huá）油密度（dù）８６７ｋｇ／ｍ３，軸承散熱係數８０Ｗ／ｍ２·℃，主軸轉（zhuǎn）速為１　４７０ｒ／ｍｉｎ或１　５００ｒ／ｍｉｎ． 
   
    采用主軸熱特性模（mó）型（xíng）和主軸熱傳（chuán）遞模（mó）型，對１號與７號測點處溫度時間序列進行預測，同時，將預測值序列＾ｘｉ與兩個測點處的溫度（dù）實測值序（xù）列ｘｉ進行（háng）對比，並計算其相對誤差δ，結果如表１所示．相對誤差的（de）計算公式（shì）如（rú）式（２７）所示：

      由表１可（kě）知：預（yù）測值序列（liè）與實測值序（xù）列的相對誤差較小，相對誤差平（píng）均值為１４．２％．其中，１號測（cè）點相對（duì）誤差最大（dà）值１３．３％，７號測點相對誤差３６．４％．因（yīn）此，主軸熱特性辨識模型的預測數據與實測數據基本吻合，另外考慮到１號和７號測點位於主軸外露的軸頸處，測試（shì）所得溫度與軸承處的（de）溫度本身（shēn）存在一定的誤差，所以，本文建立的（de）模型能有效地描述主軸的熱特性．
   
     ２．３　熱誤差模型實驗驗證（zhèng）
   
     綜（zōng）合主軸熱特性辨識數據和溫度測點數據，利用式（７）進行熱誤差模型的驗證．
 
     首先，基於（yú）第（dì）１組數據中各溫度測點數據序列和熱誤差數據序列，建（jiàn）立主軸Ｘ，Ｙ，Ｚ 三個方向上的熱誤差預測模（mó）型．然（rán）後，選取未使用過的第２組數（shù）據中的溫度數據，代（dài）入熱誤差預測模型中，輸出Ｘ，Ｙ，Ｚ 方向的（de）熱誤差預測值（zhí）；最後，將預（yù）測值與熱誤差實（shí）測值比較（jiào）．同（tóng）時，預測過程中，第１號（hào）和７號測點的溫度數據采用主軸箱熱特性模型的輸（shū）出值．模型（xíng）的（de）熱（rè）誤差預測（cè）值與（yǔ）實測值，以及兩（liǎng）者之間的殘差如圖４，圖５和圖６所示（shì）．
  
  
                                表１　熱特性辨識結果

  
     
    
           圖４　主軸（zhóu）Ｘ 方向熱漂移預測值與實測值比較
   

      如表２所示為本文所建立的熱誤差模型（xíng）的性（xìng）能（néng）指標．由表（biǎo）２可知，預測（cè）值序（xù）列＾ｘｉ與實測值序列ｘｉ的相對誤差δ較小，其中，Ｘ 軸方向熱誤差相對誤差δ最（zuì）大值６．３３％，Ｙ 軸方向熱誤差相對（duì）誤差（chà）δ最大值１９．２４％，Ｚ軸方向熱誤差相對誤差δ最大值１４．０５％．
 

             圖５　主軸Ｙ 方（fāng）向熱漂移預測值與實測值比較

  
        
  
                圖６　主（zhǔ）軸Ｚ 方（fāng）向熱漂移預測值與實測值比較
 
 
                              表（biǎo）２　熱誤差辨識結果

     
  
  
      ３　、結　論
   
     １）基於空載實驗的（de）精密導軌磨床熱誤（wù）差建模方法，研究（jiū）的熱誤差（chà）不受其它加工因（yīn）素的耦合影響，降低了熱誤差建模的複雜程度，對於切削力不大（dà）的精密（mì）磨削具有實（shí）用（yòng）意義．
    
     ２）基於（yú）時（shí）序相（xiàng）關分析理論與數值計算理論的熱誤差模型能有效地（dì）對機床熱誤差進行辨識．
   
     ３）實驗驗（yàn）證了該建模方法的有效性與可行（háng）性，為機床精密加（jiā）工精度的提高（gāo）與熱誤差實時補償技術提供了理論借鑒．