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數控機床熱誤差補償模型穩健性（xìng）比較分析

2017-12-27 來源：合肥工業（yè）大學儀（yí）器科學與光（guāng）電工程學院作者：苗恩（ēn）銘龔亞運徐祗尚周小帥

摘要：數（shù）學模型的（de）精度（dù）特性和穩健（jiàn）性特性對數控機床熱誤差補償技術在實際中的實施性（xìng）影響不容忽視。對數控加工中心關（guān）鍵點的溫度和主（zhǔ）軸z 向的（de）熱變形量采用（yòng）多種算法建立了預測模型，對不（bú）同算法（fǎ）擬合精度（dù）進行分（fèn）析。同（tóng）時進行全年熱誤差跟蹤試驗，獲得（dé）了機床在不同環（huán）境溫度和不（bú）同（tóng）主軸轉速（sù）的試驗條件下的敏感點（diǎn）溫度和熱誤差值。以此為基礎，對各種預測模型的預測精度進行比較（jiào）驗證不（bú）同模（mó）型的（de）穩健性。結果表明，多元線性回歸算法的最小一乘、最小二乘估計模型以及分布滯後模型在改變試驗條件時預測（cè）精度下降，而基（jī）於支持向量回歸機原（yuán）理（lǐ）的熱誤（wù）差（chà）補償模型仍能保持較好的預測精（jīng）度，穩健性強。這（zhè）為數控機床熱（rè）誤差補償模型的選擇（zé）提供了具有實用價值的參考，具（jù）有很好工程應用性。

關鍵詞：數控（kòng）機床；熱誤差；穩（wěn）健性；多元線性回歸模型；分布滯（zhì）後模型；支持向量回歸機

0 前言

在（zài）數控（kòng）機床的各種誤差源中，熱誤差已經成為影（yǐng）響零件加工精度主要誤差來源[1]。減少熱誤差是提高數控機床（chuáng）加（jiā）工精度的關鍵。在熱誤差補償中，建模技術則是重點。由於（yú）機床熱誤差在很大程度上取決於加工條件、加工周期、切削液（yè）的使用以及周圍環境等等多種因素，而且熱誤（wù）差呈現非線性及交互作用，所以僅用理（lǐ）論分析來精確建立熱誤（wù）差數學模型是相（xiàng）當困難的[2]。最為常用的熱（rè）誤差建（jiàn）模方法為試驗建模法，即根據統計理論對熱誤差數據和機床溫度值作相關分析（xī）。楊建國（guó）等[3-5]提出了數控（kòng）機床熱誤差分（fèn）組優化建模，根據溫度變量之間的相關性（xìng）對溫（wēn）度變量進行分組，再與熱誤差進行排列組（zǔ）合逐一（yī）比較選出溫（wēn）度（dù）敏感點用於回歸建（jiàn）模。韓國的KIM等[6]運用有限（xiàn）元法建立了機床滾珠（zhū）絲杠係統的溫度

場。

密執安大學（xué）的YANG 等[7]運用小腦模（mó）型連接控製器神經網絡建立了機床熱誤差模型。ZENG 等[8]用粗（cū）糙（cāo）集人工神經網（wǎng）絡對數控機床熱誤（wù）差分析與建（jiàn）模，並對建模精度（dù）進行了論證。CHEN 等[9]運用聚類分析理論（lùn）和逐步回歸選擇三坐標測量機熱誤差溫度敏感點，用PT100 測量溫（wēn）度、激光幹涉（shè）儀測（cè）量三坐標測量機熱誤差，建立了多元（yuán）線性模型。由於這些建模方式是離線和預先建模，而且（qiě）建模數據采集於某段時間，故用這些（xiē）方法建立起來的熱誤差數（shù）學模型的穩健性顯然不夠，一般隨著季節的變化難以長期正確地預報熱（rè）誤差。近年來，支持向量機是發展起來的一種專門研究小樣本（běn）情況下的機器（qì）學習規律理論，被認（rèn）為是針對小（xiǎo）樣本統計和預測學習的最佳理論（lùn）[10]。支（zhī）持向量機建立在Vapnik-Chervonenkis 維理論基礎上，采用結構風險最小化原則，不僅結（jié）構簡單，且有效解決了模型選擇與（yǔ）欠（qiàn）學習、過（guò）學習、小樣本、非線性、局部最優和維數災難等問題，泛化能力大大提高[11-12]。本文對Leader way V-450 型數控加工中心進行熱誤差測量試驗，采用模糊聚類與灰色關聯度理論綜合應用進行了溫度（dù）敏感點選擇，同時利用多（duō）元線性回（huí）歸模型，分布滯後模型，支持向量回（huí）歸機模型分別建立熱（rè）誤（wù）差補償模型，並對多元回歸（guī）模型分別采用最小二乘和最小一乘估計，通過比對（duì）各種模型的穩健性，從而為數控機床熱誤差補償建模方法的選擇提供了參考，具有實際的工程應用價值。

1 、熱誤差建模（mó）模型（xíng）

1.1 多元（yuán）線性回歸模型

多元線性（xìng）回（huí）歸(Multiple linear regression, MLR)是（shì）一種用統計方法尋（xún）求多輸入和單輸出關係的模型。熱誤差的多元線性回歸模型以多個關鍵溫度敏感（gǎn）點測量的溫度增量值為自變量，以熱變形量（liàng）為因變量，其通用表達式為

同時，采用最小一乘和最（zuì）小二乘兩種準則對線性回歸模型進行估計計算。最小二乘法在方法上較為成熟，在理（lǐ）論上也較為完善，是一種常用的最優擬合方法（fǎ），目前（qián）廣泛應用於科學技術領域（yù）的許多實際問題中，在數控機床建模技術（shù）中（zhōng）也有很多的應用。而最小（xiǎo）一乘法受異常值的影響較小，其穩健性比最小二乘法的要好，但最小（xiǎo）一乘回（huí）歸屬於不可微問題（tí），計算具有較大的難度。文中針（zhēn）對最（zuì）小一（yī）乘的算法采用文獻[13]的算（suàn）法（fǎ）理論和Matlab 程（chéng）序。最小二乘準則——殘差平方（fāng）和最小，即

式（shì）中 IID ——標準正態分布（bù）的相互獨立變量；

n ——最（zuì）大滯後期；

a0 ——常數項；

u ——外生變量個數；

yt ——因變量；

βj,i ——係數；

xj,ti

——第j 個自變量的ti 期值。

對於（yú）滯後階數n 的確定，由於試驗測量數據量比較大，所以可以采（cǎi）用簡單的權宜估計法。即取n=1,2, ,i，對不同的i 條（tiáo）件（jiàn）下經最小二乘擬合，當滯後變量的回歸係數開始變得統計不顯著，或其中有一個變量的係數改變符號時，i1 就是最終的滯後階（jiē）數。

1.3 支持向量回歸機模型

統計學習理論是由VAPNIK[11]建立的一種專門研究有限樣（yàng）本情況下機器（qì）學習（xí）規律的理論，支持向量機是在這一理論基礎上發展起（qǐ）來的（de）一種新的分類和回歸工具。支持向（xiàng）量機通過結構（gòu）風險最小化原（yuán）理來提高泛化能力，並能較好地解決小（xiǎo）樣本、非線性、高維數、局部極小點等實際問題，其已在模式識別、信號處理（lǐ）、函數逼近等領域應用。

引入拉格朗日函（hán）數，可得凸（tū）二次規劃問題

2 、試驗設計（jì）

2.1 試驗方案

本文對Leader way V-450 數控（kòng）加工中心主軸z向進行熱（rè）誤（wù）差測量試驗，各傳感器的安放位置及作用如表1 所示，溫度（dù）傳感器和電感測微儀具體分布位（wèi）置如圖1 所（suǒ）示。

圖（tú）1 熱誤差測量試（shì）驗

表1 傳感器安放位置（zhì）及作用

試驗對數控加工（gōng）中心在不同季節(不同環境溫度)、不同（tóng）主軸轉速下進行了9 次熱誤差測量試驗，測量的次數、轉（zhuǎn）速及環境溫（wēn）度（dù）如表2 所（suǒ）示。

表2 試驗批次的主軸轉速和環境溫度

表2 中，Knm 含義是，第n 次測量的主軸轉速在m 的試驗數據。如K12000 表示第一次測量的主（zhǔ）軸轉速（sù）在2 000 r/min 的試驗數據，K22000 表示（shì）不同環境溫度下（xià）第（dì）二次測量的主軸（zhóu）轉速在2 000 r/min 的試驗數據，K32000 表示不同環境溫度下第三（sān）次測量的（de）主軸轉速（sù）在2 000 r/min 的試驗數據。

2.2 溫度敏感（gǎn）點的篩選

為（wéi）便於實際工程應用，針對溫度傳感器數目進行優化挑選，合理有效地篩選（xuǎn）溫度傳感器有助於提高機床熱誤差建模精度。本文采用模糊聚類（lèi）與回（huí）歸（guī）關聯度（dù）相結（jié）合的方法選擇熱誤（wù）差關鍵敏感點，具體方法（fǎ）參考文獻[15]，最終選擇T6 和T7 作為溫度敏感點。

3 、建模模型（xíng）的穩健性分析

穩健性是指在（zài）模型（xíng）與（yǔ）實際對象存在（zài）一定差距時，模型依然具有較滿意的模擬預測性能。本文利用多（duō）元線性回歸的最（zuì）小二乘、最小一（yī）乘（chéng）估計模型，分布滯後模型以（yǐ）及支（zhī）持向量回歸機模型對K16000 數據分別（bié）建立預測模型，先進行各模型對本批數據的（de）擬合精度進行（háng）分析，隨後將該（gāi）模型用於其他批（pī）次采樣數據的預測，以判斷模型的穩健性。同時，根據建模數據的來源批次特征，對各算法給予了穩健性分析。

3.1 不同算法的模型（xíng）擬合精度分析（xī）

表（biǎo）3 各模型的擬合標準差 μm

由表3 可知，擬（nǐ）合精度SVR 最優，DL 其次，擬合（hé）精度最差的是MLR 最小一乘算法。

圖2 對K16000 擬合（hé）效果

為比對各算法（fǎ）穩健性，利用各個模型建立的（de）預測模（mó）型對其餘批次數據按照同轉速不同溫度(環境溫度變化範圍（wéi）較大)、同溫度(環境溫度變化較小)不同轉速、不同（tóng）溫（wēn）度(環境溫度變化範圍較大（dà）)不同轉速三種類型進行數據預（yù）測，根據預測效果對各個補（bǔ）償模型進行穩健性分析。

3.2 同轉速不同環境溫度分析

以K16000 數據建立的預（yù）測（cè）模型對K26000 數據進行預測精度（dù）分析，分析效果如圖3 所示；再對K36000數據進行預測精度分析，分析效（xiào）果如圖4 所示。各個預測模型的預測標準差如表4 所示。

表4 各模型的預（yù）測標準差 μm

圖（tú）3 對K26000 預測效果

圖4 對K36000 預測效果

通過分析比較可得（dé），轉速不變，環境溫度增加較小時，各個預測模型的預測（cè）效（xiào）果仍然保持較好，但（dàn）是隨著環境溫度（dù）增加較大時，多元（yuán）線性回歸的最小二乘、最小一乘模型以（yǐ）及分布滯後模型的預（yù）測效果變差，其中多元線性回歸的最小二乘算法相對較好，隨後是最小一乘模型，預測效（xiào）果最差的是分布滯後模型。除此之外，支持向量回歸機模型仍（réng）能保

持很好（hǎo）的預測精度。

3.3 同溫度不同轉速分析

針對（duì）溫度變化範圍較小的（de）不同轉速測（cè）量數據，以K16000 數據建立的預測模型對K14000 和K12000 數（shù）據進行（háng）預測精度分析，根據分析數據結果來判斷不同算法建立的模型的穩健性。先對K14000 數據進（jìn）行分析，分析效果如圖5 所示；然後分析K12000 數據，分析效果如圖6 所（suǒ）示。各（gè）個預測模（mó）型的預測標準差如表5 所示。

表5 各模型的預測標準差 μm

圖5 對K14000 預測效果

圖6 對K12000 預測效果

通過分析比較可得，環境溫度基本（běn）不變，轉速逐漸（jiàn）降低時（shí），最小二乘和最小一（yī）乘模型仍具有一定的預測精度（dù），分布滯後模型預測（cè）效果越來越差，而支持向量回（huí）歸機模型始終保（bǎo）持很好的預測精度。各算法穩定性優劣依次為支持向量回歸機模型、最小二（èr）乘、最小一乘和分布滯後（hòu）模型。

3.4 不同溫度（dù）不同（tóng）轉速分析

針對環境溫度（dù）變化時的不同轉速測量數據，以K16000 數據建立的預（yù）測模（mó）型對K24000、K22000、K34000和K32000 數據進行預測精度（dù）分析，根據分析數據結果來判斷不同算法建（jiàn）立（lì）的模型的穩健性。各個預測模型（xíng）的預測標（biāo）準差如表6 所（suǒ）示。

表6 各模型的（de）預測標準（zhǔn）差 μm

通過分析比較可得，環境溫度變化幅度較小，轉速逐漸降低時，最小二乘和支持向量回歸機模型具有很好（hǎo）的預測精度，最（zuì）小（xiǎo）一乘模型的預測精度（dù）逐漸降低，分布滯後（hòu）模型預測效果逐漸變差；環境溫度變化幅度較大時(超過10 ℃)，轉速逐漸降（jiàng）低時，隻有支持向量回歸機模型仍保持（chí）較好的預測精度，其他的預測模型的預測（cè）效果很（hěn）差。各（gè）算法（fǎ）穩定（dìng）性優劣依次為支持向（xiàng）量回歸機模型、最小二乘、最小一乘和分布滯後模型。

4 、結論

(1) 通過長期測量數控機（jī）床熱（rè）誤差和關鍵敏感點溫度來獲得多批次的試驗數據，通過多種模型算法進行（háng）了預測建模，從機床主軸（zhóu）同（tóng）轉（zhuǎn）速不同環境溫（wēn）度、同環境溫度（dù）不（bú）同轉速、不（bú）同轉速不同（tóng）環境溫度等三種情況對預測模型（xíng）的精度（dù）與（yǔ）穩定性進行了分析。

(2) 從試驗效果（guǒ）可知，分布滯後模型具有很好的擬合精度，但以（yǐ）一（yī）組采樣數據建立的分布滯後（hòu）模（mó）型（xíng）其穩健性較差。僅以一組采（cǎi）樣數據進（jìn）行（háng）建模，最小一乘模型的穩健性並不（bú）優於最小二乘（chéng）模型，反（fǎn）而略差。最小一乘（chéng）法穩健（jiàn）性高於最小二乘法的說法，是（shì）基於對異常數（shù）據處理方麵的優勢，而數控機床熱變形測量數據中出現異常數據的概率很小（xiǎo），使得該

法的優勢並未得（dé）到體現，而且數控機（jī）床熱誤差數據樣本量較大，最小一乘算法複雜，相對於最小二乘法，最小一乘法在數控機床熱誤差預測建模中的實際應用效果反而不如最小二（èr）乘法。

(3) 支持向量回歸機模型擬合精度高（gāo），預測效果保（bǎo）持性好，穩健性強（qiáng），該算法作（zuò）為數控機床熱誤差補償的建模（mó）算法具有工程應用基礎。

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