摘要：機床剛度、固有頻率等動力學特性隨著機（jī）床部（bù）件位置、姿態在工作空間中的變化而變化。對機床動力學特性的（de）研究不（bú）僅需要考慮到機床質量、剛度、阻尼值的大小，還應重視機床加工點的空間位置變化。采用（yòng）空（kōng）間統計學方法，以超（chāo）精密機床固有頻率這一關鍵動力（lì）學性能為例（lì），分析機（jī）床動力學性能與機床位置姿態（tài）之（zhī）間的數學關（guān）係，選取機床動態特性變異函數，建立動力學性能變化預測的Kriging 方法模型，研究動力（lì）學特性在工作空（kōng）間（jiān）中的變化規律以及動力學特性（xìng）空間信息的表述方（fāng）法。將所建立的模型與正交多項式方法、徑向基神經網絡（luò）方法、二階響應麵（miàn）方法等方（fāng）法建立動力學性能預測分析模型比較，空間（jiān）統計學Kriging 方法所建立的模型R2 檢（jiǎn）驗大（dà）於0.96，在四（sì）種模（mó）型建構方式中（zhōng）為精確（què）度最優，能夠在完整工作空間（jiān）中準確地描述（shù）機床動力學特性。基於空（kōng）間統計（jì）學的機床動力學特性研（yán）究為機床的動力（lì）學設計（jì）提供了新的設計分析方法及相（xiàng）應的技術支持。
 
      關鍵詞：機床動力學；加工空間；空間（jiān）統計學；Kriging 模型；固有頻率
   
      0 前言
   
      機床動力學特性是機床重要的性（xìng）能指標。不恰當（dāng）的機床設計和使用（yòng）將引起機床加工中的顫振，使得機床的切削條件變得不穩定，導致刀具的磨損和斷裂，產生加工中的振動和噪聲（shēng），影響機床加（jiā）工精度和工件表麵形貌，加速機床本身的磨損和破壞。與機（jī）床動（dòng）力學性能相關的機床設計參數通常有機（jī）床的剛度（dù）、固有頻率、模態振型、阻尼、質量分布等。機床動力學特性（xìng）設計和分析通常采用有限元方法建立虛擬仿真環境[1-3]，提供在一個具體的位置和姿態下（xià），機床（chuáng）的（de）n 階（jiē）固有（yǒu）頻率和對應的模態振型以及剛度，為機床的動力學設計提供數（shù）據支持。虛擬仿真環境解決了機床運動過程中（zhōng）的位置相關的動力學（xué）性能評估問題，但尚未對機床（chuáng）各加工位置之間的動（dòng）力（lì）學性能的變（biàn）化趨勢（shì）和（hé）關聯性進行分（fèn）析（xī）。針對機床工作空（kōng）間中動力學特（tè）性的演變，許多學者進行了分析研究。ZAGHBANI 等[4]采用機床加工過程中模態的變化為指標來評估機床動力（lì）學特性的穩定性。WU 等[5]分別使用數值計算和試驗方法研究了5自由度混聯機床工作空間中的剛（gāng）度分布（bù），並嚐試（shì）通過改進剛度最低的部件剛度來優化係統（tǒng）剛度。劉海（hǎi）濤等[6]通過定義廣義加工（gōng）空間函（hán）數的方法，在龍（lóng）門（mén）機床和立式機床的整（zhěng）個工作空間進行模態分析和動力響應分析，獲得了低階固有頻（pín）率在加工空（kōng）間中變化最大（dà）可達25%的結論，證明了機床性能的優化中完整模態信息（xī）的重（chóng）要性。但目前，關於動力學特性（xìng）在工作（zuò）空間中的變化規律的研究以及動力學（xué）特性空（kōng）間信息的表述方法的研究還未見有詳細研（yán）究（jiū）的報導。
   
      本文通過（guò）機床工作空間（jiān）動力學特性分析機（jī）床動力學性能的空間特性的內在形成機製，繼而，以（yǐ）一階（jiē）固（gù）有頻率為例（lì），建（jiàn）立空間中的機床動力學（xué）特性的（de）空間統計學模型，通過與正交多項式（shì）模型、神經網絡模型及二（èr）次響應麵（miàn）模型的比較，分析動（dòng）力學性能的影響因素的同時（shí），獲（huò）得高精（jīng）度的空間動（dòng）力（lì）學特性表征模型。
     
     1 、機床動力學（xué）性能的空間特性分析
   
     如圖 1 所示[7]，機床剛度、固有頻率、模態振（zhèn）型（xíng）等動力學參數（shù）是機床關鍵部件及結（jié）合部組成的剛度鏈[8-10]結構特性和（hé）機床空間位置、姿態等空間特性的函數。剛度鏈（liàn）隨著機床的位姿變化而變化。剛度鏈每一位置姿態對應的剛度、固（gù）有（yǒu）頻率等模態信息都可以使用多體動力學和有（yǒu）限元分析的聯合仿真方法求解[2]。

      
                    圖1 機床剛度鏈及機床動力（lì）學特性
     
     機床剛度鏈的兩個端點刀具和（hé）工件在加工過程中位（wèi）置變化包絡形成機床工作空間。加（jiā）工空間內的質量（liàng）矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣（zhèn）隨著機床位（wèi）置姿態（tài）的（de）變化（huà）而變化，並引（yǐn）起固有頻率（lǜ）、模態、動剛度等動（dòng）態特性的變化。其中，質量矩陣在加工過程中隨著運動部（bù）件重心的（de）變化而變化；阻尼產生機（jī）理（lǐ）和計算方法尚有爭論；機床的剛度鏈組成複雜（zá），包括：結構件剛度、主軸剛度、導軌剛度、結合部（bù）剛度、電機伺服剛（gāng）度、氣浮軸承剛度等，在機床運動過程中，這些剛度鏈的剛度變化量級不同。在（zài）三個因素綜合作用下，機床的固有頻率、模態、動剛度等動態特性在加工空間中的（de）變化（huà）呈現非線性（xìng）、變化規律複雜。
   
      決定機床動力（lì）學特性的機床質量矩陣 m、剛度矩陣（zhèn）k 和阻（zǔ）尼矩陣c 都隨著剛度鏈的變化而變化，機床的動力學特性是空間位置(x, y, z)的函數。可寫為
 

  
      將位置姿態數據(x, y, z)反複代入到式(1)，獲得（dé）某5軸銑床各加工位置的一階固有（yǒu）頻率，如圖（tú）2 所示。對式(1)、(2)進（jìn）行（háng）模態疊加，可得到由固（gù）有頻率值和模態矢量表述的動剛度等動態特性（xìng）
    
     
     
      根據以上數學推導及分析可知，由於（yú）機床運動中質量、阻尼、剛度改變的連續（xù）性，加工空間中的動力（lì）學特性數據各位置間明顯具有關聯性，表現為鄰近位置的動力學特性相似。這種數據之間的關聯性，使得超精密機床（chuáng）加工空間動態性能具有空間（jiān）依賴性(空間自相關)。在進行動態性能（néng）分析時，既考慮到（dào）各采（cǎi）樣點具（jù）體值的大小，又重視樣本空間位置及樣本間的距離（lí）的方法會更有利於動態性能的（de）把握。空間對象間的相關性和非獨（dú）立的有效科（kē）學方法是基於數據的空間統計學。從這個性質（zhì）而言，傳統的（de）代數多項（xiàng）式擬合建（jiàn）立在數據（jù）獨立性的基礎上，代數多（duō）項式的統計模型對空間數據的分析會產生虛假的解釋。目前流行（háng）的神經網絡方法沒有（yǒu）在算法中（zhōng）明確指出從空間（jiān）特性上對動態（tài）性能學習和分（fèn）析的途徑，其對整機動態特性（xìng）的掌握也沒有考慮空間數據關係的空間分析方法精準。在空間特性分析上，Kriging 方法[11-12]是以已知樣本信息的動態構造為基礎，充分（fèn）考慮到變量在空（kōng）間上（shàng）的相關特征，建立對象問題的近似函數關係來模擬某一點的未知（zhī）信息（xī）的（de）有效（xiào）空間統計學方法。

     
                              圖2 加工空間各加工位置的固有頻率值

      因此，本（běn）文嚐試使用 Kriging 方法建立近似模型對加工空間動態特性預測分析，並與傳統代數多項式建立的響應麵近似（sì）模型、及基於對數據學習分析的神（shén）經網絡模（mó）型對比（bǐ），以期獲取更好（hǎo）性能預測分析。
   
 
      2 、動力學性能的Kriging 預（yù）測模型

      Kriging 插值（zhí）[11]是一種求（qiú）最優、線性、無偏的空間內插方法，采用協方差衡量各點空間相關程度。它是基於線性回歸分析的一種（zhǒng）改進（jìn），模型（xíng）包含了線性回歸部分和非參數部分，其中的（de）非參數（shù）部分（fèn）被稱為變異函數，采用隨機分布函數的（de）實現。

      常用於擬合變異函數的模型包括指數模型、高斯模型、Matérn 線性模型、Matérn 立方模型。通過計算模（mó）型協方差，找出最佳理論變異函數模型，獲得最好擬合效（xiào）果，計算公式為

     
  
     至此，對加（jiā）工空間中任意點的一階固有頻率可使用式(16)計算獲得。其（qí）他如剛度（dù）、高（gāo）階固（gù）有頻率、阻尼（ní）等相關動態性能參數均可使用此方法（fǎ）計算。下麵以一階固有頻率為例對Kriging 方法建立（lì）的模型進行加工空間內機床動態特（tè）性分析。
   
      3 、機床動態特性分析
 
      3.1 動態特（tè）性變異（yì）函數的選擇
   
      取圖 2 中27 個空（kōng）間點作為位置變量（liàng）輸入P = {p1, p2 ,, pn}，對應響應變量的輸（shū）出數據f1,f2.... fn，計算刀具加工點位於空間（jiān）位置p 時機床的動態性能。
 
      將已知的 27 個空間位置的一階固有頻率數據代（dài）入，選擇變異函數g(x, y, z)協方差計算模型為指（zhǐ）數模型，獲得正則化θ 參數如表1 所示。
 
                                  表 1 Kriging 模型θ 參數

      至此，完成整體模型擬合。

     
    
     圖3 指數函數模型頻（pín）率預測值與真實值比較由於 Kriging 模型建立時考慮了數據（jù）的（de）內在相關性，所有變（biàn）異（yì）函數獲得的近似模型擬合精確（què）度檢驗（yàn）R2 檢驗值均大於0.95，四種變異函數都可以比較精確地表達（dá）一階（jiē）固有（yǒu）頻率在加工空間內的（de）變化規律。四種模型（xíng）中指數函數模型能夠更好地表達數據之間的（de）相關性，近似精度最高。
 
      3.2 一階固有頻率的（de）變（biàn）化規律（lǜ）
   
     以圖 2 中的超精密銑床為例，研究機床加工空間中一（yī）階固有頻率的變化規律。

      圖 4 中X 剖麵從左到右依（yī）次為x=-115 mm，x=0mm，x=115 mm。對三幅圖中（zhōng）同一(y, z)點值分析（xī）可知（zhī），隨著導（dǎo）軌在X 方向的移動，該超（chāo）精密銑床工作空間中相同(y, z)位置一階頻率將產生6%非線性改變。圖 5 中Y 剖麵左到（dào）右依（yī）次為y=0 mm，y=112.5mm，y=225 mm。對（duì）三幅圖中同一(x, z)點值分析可知，隨著（zhe）導軌（guǐ）在Y 方向的移動，工作空間的相同（tóng）(x,z)位置一階頻率幾乎沒有發生（shēng）改變。由此可知，能通過Y導（dǎo）軌運動到達的工作位置，應（yīng）優（yōu）先移動Y導軌。如圖 6 所示，圖（tú）中Z 導軌（guǐ）位置從左到右依次為z=0 mm，z=80 mm，z=160 mm。隨著導軌在Z 方向的移動（dòng），工作空間中（zhōng）相同(x, y)位置一階頻率將產生（shēng）5%的非線性的改變。由於Z 方向（xiàng）是加工敏感方向，這（zhè）種變化在超精密加工中產生影響需要盡（jìn）量避免。對三幅圖（tú）中同（tóng）一（yī）點值分析可知，當Z 導軌位於定導軌中部(z=80 mm)位置時，工作空間中(x, y)點位（wèi）置的變化對整機頻率影響最小。

        
                                          圖4 工作空間內的一階頻率（lǜ）(X 剖麵)

      
                                                  圖5 工作空間內的（de）一階頻率(Y 剖麵)
  
  

   
                                                     圖6 工作空間內的一（yī）階頻率(Z 剖麵)
   
 
      根據（jù）以上分析可知，機床的一階固有頻率在工作空間是變化的，為了保持機床工作的平穩，應優先使用頻率變化小的運動方式來保障機床具有更平穩的動態性能。以文中所使用的超精密銑床為例，該機床在工作時應該盡（jìn）量使得Z 導軌停留在定導軌的中部，優先進給Y 軸，減（jiǎn）少X 導軌的運動來降低超精（jīng）密加工中（zhōng）機床性能變化對精度帶來的不利影響。
   
     4 、對比研究
   
     機械設計分（fèn）析中，傳統上（shàng）更多地使用（yòng）包括正（zhèng）交（jiāo）多項式模型[14-15]和響應麵模型[16-17]等多（duō）項式近似（sì）模（mó）型。近年來，神（shén）經網絡模型[18-19]作為近似分析模型在（zài）機（jī）床建模和機械產品性能分析中也日益廣泛使用。本節測試這三種模型在機床動態特性分析中的適（shì）用性。
      
     4.1 正交多項式模型
     
     將 上 述 27 個采樣點作為輸入點， 采用CHEBYSHEV 正（zhèng）交多項式建立機床一（yī）階固有頻率的空（kōng）間動態模型。可解得（dé）R2=0.471 63，由於（yú）R2 小於0.9，誤差值過大，這種算法構建的一階固有頻率空間變化規律模型用於（yú）分析時可信度非常低。
   
     計算出的一階（jiē）固有頻率預測（cè）值與真實值比較（jiào）及一階固有頻率分布如圖7、圖（tú）8 所示。由於誤差值過大，可認為這種構（gòu）造近似模型的方（fāng）法得到的近似模（mó）型用於分析時可信度較低。

      
       圖7 正交多項式近似模型頻率預測值（zhí）與真實值比較
    
     
                   圖8 正交（jiāo）多（duō）項式近似模型仿真結（jié）果

     4.2 徑向基神經網絡模型
   

     徑向基神經網（wǎng）絡模型形參數取值 2.97，構造後得到R2=0.885 47。殘（cán）差分析如圖9 所示，仿真模型如圖10 所示。由於誤差值過大，可認（rèn）為這種構造近似模型的方法得到的（de）近似模型用於分析時可信度較低。

       
     圖（tú）9 神經網絡（luò）模型模型頻率預測值與真（zhēn）實（shí）值比較
  
  

     
                 圖10 神經網絡模（mó）型仿真結果及分析

     4.3 二階響應麵模型
   
    根據給定的 27 個點的初（chū）值，可（kě）寫出二階（jiē）響應麵模型（xíng）(Response surface method, RSM)構造方程。二（èr）階響應麵模（mó）型R2=0.346 71，精確度分析（xī）如圖11 所示，頻率分布仿真效（xiào）果如（rú）圖12 所示。由於R2 遠小於0.9，誤差值過大（dà），可認為這種（zhǒng）構造近似模型的方法得到的近似模型用於分析時（shí）可信度非常低。

      
        圖11 RSM 近似（sì）模型頻率預測值（zhí）與真實值比較
  
 

     
                 圖12 RSM 近（jìn）似模型仿真結果及分析
 

     5 結論
   
     (1) 本文使用Kriging 方法建立空間統計模型進行機床動力學特性研（yán）究，獲得了固有頻率、剛度在加工空間分布規律，在完整工作空間中準確的描述超精密（mì）機床（chuáng）動力（lì）學特性（xìng）。
     (2) 機床動力學特性（xìng）的剛度、固有頻率等主要因素隨著機床位置姿態（tài）的變化規律可（kě）使（shǐ）用Kriging方（fāng）法描（miáo）述。方法中的四種變異函數模型(指數函數、高斯函數、線性函數（shù）、三次函數)，指數函數模型能夠更好（hǎo）的表達數（shù）據（jù）之間的相關（guān）性，近似精（jīng）度最高。
     (3) 由於正交（jiāo）多項式（shì）模型（xíng）、響應（yīng）麵模型和（hé）神經網絡模型在模型建構中使用了數據獨立性假設，該假設與機床（chuáng）動態特性數據的空間相關性相（xiàng）違背，所以不適合用於機床動力（lì）學特性變化規（guī）律的描（miáo）述（shù）。本文的研究結果為超精密機床的動力學設計提（tí）供了新的設計分析方法和技術支持。為機床使用中加（jiā）工位置和（hé）姿態的選擇和（hé）路徑規劃提供了原理（lǐ）和數據支持。