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數（shù）控機床熱（rè）誤差（chà）補償模型穩健性比較分析

2017-12-27 來源：合肥工業大（dà）學儀器科學與光電工程學院作者：苗恩銘龔亞運徐祗尚周（zhōu）小帥

摘（zhāi）要：數學模型的精度特性和穩健性特性對數控機床熱（rè）誤差補償技術在實際中的實施（shī）性影響不（bú）容忽視（shì）。對（duì）數控加工中心（xīn）關（guān）鍵點的溫度和（hé）主軸z 向的熱變形量采用多種算法（fǎ）建（jiàn）立了預測模型，對不同算法擬合精度進行分析。同時進行全年熱誤差跟蹤試（shì）驗，獲得了機床在（zài）不同環境（jìng）溫度和不同主軸轉速的（de）試驗（yàn）條件下的敏感（gǎn）點溫度和熱誤差值（zhí）。以此為基礎，對各種預測模型的預測精度進行比較驗證不同模型（xíng）的穩健性。結果表明，多元線性回歸算法的最小一乘、最小二乘估計模型以及分布滯後模型（xíng）在改（gǎi）變試（shì）驗條件時（shí）預測精度下降，而基於支持（chí）向（xiàng）量（liàng）回歸機原理的熱誤差補償模型仍能保（bǎo）持較好的預測精度（dù），穩健性強。這（zhè）為數（shù）控機床熱誤差補償模型的選（xuǎn）擇提供了具有實用價值的參考，具有很好工程應用（yòng）性。

關鍵詞：數控機床；熱誤（wù）差；穩健性；多元線性回歸模型；分（fèn）布（bù）滯後模型；支持向量回歸機

0 前言

在數（shù）控機（jī）床的各種誤差源中，熱誤差已經成為影響零件（jiàn）加工精度主要誤差來源[1]。減少熱誤差是提高數控機床（chuáng）加工（gōng）精度的關（guān）鍵。在熱誤差（chà）補償中，建模技術則是重點。由於機床熱誤差在很大程度上取決（jué）於（yú）加工條件、加工周期、切削液的使用以及周圍環境等等多種因素，而且熱誤差呈現非線性及交互作（zuò）用，所以（yǐ）僅用理論分析來精確建立熱誤差數學模型是相當困難的[2]。最為常用（yòng）的熱（rè）誤差建模方（fāng）法為試驗建模法，即根據統計理論對熱誤（wù）差數據（jù）和機（jī）床溫度值作相關分析。楊建國等[3-5]提出了數控機床（chuáng）熱（rè）誤差分組優化（huà）建模，根據溫度變量（liàng）之間的相關性對溫度變量進行分組（zǔ），再與熱誤差（chà）進行排（pái）列組合逐一比較選出溫度敏感點用於回歸建模。韓國的KIM等[6]運用有限元法建立了機床（chuáng）滾珠絲杠係統的溫度

場（chǎng）。

密執安大學的YANG 等[7]運用小腦模型連接控製器神經網絡建立了（le）機床熱誤差模型。ZENG 等[8]用粗糙集人工神經網絡（luò）對數控機床熱誤差分析與建模，並（bìng）對建模精（jīng）度進行（háng）了論證（zhèng）。CHEN 等[9]運用聚類分析（xī）理論和逐步回歸選擇三坐標測量機熱誤差溫度敏感點，用PT100 測量（liàng）溫度、激光幹涉儀測量三坐標測量機熱（rè）誤差（chà），建立了多元（yuán）線性模型（xíng）。由於這些建模方式是離線和預先建模（mó），而且建模數據采集於某段時間，故用這些方法建立起來的（de）熱誤差數學模型的穩健性顯然不夠，一般隨著季節的變化難以長期正確地預報熱誤差。近年來，支持向（xiàng）量機是（shì）發展起來的一種專門研究小（xiǎo）樣本情況下的機器學（xué）習規律理論，被認為是針對小樣本統（tǒng）計和預測學（xué）習的最佳理論[10]。支持向量機建立在Vapnik-Chervonenkis 維理論基礎上，采用結構風險最小化原則，不僅結構簡單，且（qiě）有效解決了模型選擇與欠學習、過學習、小樣本、非線性、局部最優和維數災難等問題，泛化能力大大提高[11-12]。本文對（duì）Leader way V-450 型數控加工中心進行熱誤（wù）差測量試驗，采用模糊聚類與灰色關聯度理論綜合應用進行（háng）了溫度敏感點選擇，同時利用多元線性回歸（guī）模型，分布滯後模型，支（zhī）持向量回歸機模型分別建（jiàn）立熱（rè）誤差（chà）補償模型，並對多（duō）元回歸模型分別（bié）采用最（zuì）小二乘和最小一乘估計，通過比對（duì）各（gè）種模型的穩健性，從而（ér）為（wéi）數控機床熱誤差補償（cháng）建（jiàn）模（mó）方法的選擇提供（gòng）了參考，具有實際（jì）的（de）工（gōng）程應用價值。

1 、熱誤差建模模型

1.1 多元線性（xìng）回歸模型

多元線性回歸(Multiple linear regression, MLR)是一種用統（tǒng）計方法尋求（qiú）多輸入（rù）和單輸出關係的（de）模型。熱誤差的多（duō）元線性（xìng）回歸（guī）模型以多個（gè）關鍵溫度敏感點測量（liàng）的溫度增量值為自變量，以熱變形量為因變量，其通用表達式為

同（tóng）時（shí），采用最小一乘和最小二乘兩種準則對線性回歸模（mó）型進行估計計算。最小二乘法在方法（fǎ）上較為成熟，在理論上也較為完善，是一種常用的最優擬合方法（fǎ），目前（qián）廣泛（fàn）應用於科學技術領域的許多實際問題（tí）中，在數控機床建模技（jì）術中也（yě）有很多的應用。而（ér）最小一乘法受異常值的影響較小，其穩健性比最小（xiǎo）二乘法的要好（hǎo），但最小一乘回（huí）歸（guī）屬於不可微問題，計（jì）算（suàn）具有較大的難度。文中針（zhēn）對最小一（yī）乘的算法采用（yòng）文獻[13]的算（suàn）法理論和Matlab 程序。最小二乘準（zhǔn）則（zé）——殘差平方和最小，即

式中 IID ——標（biāo）準正態分布的相互（hù）獨立變量；

n ——最大滯（zhì）後期；

a0 ——常數項；

u ——外生變量個數；

yt ——因變量（liàng）；

βj,i ——係數；

xj,ti

——第j 個自變（biàn）量的ti 期值。

對於滯後階數n 的確定，由於試驗測量數據量比較大，所以可（kě）以采用簡單的權宜估計法。即取n=1,2, ,i，對不同（tóng）的i 條件下經最（zuì）小二乘擬合，當滯後變量的回歸係數開始變得統計不顯著，或其中有一個變量的係數改變符號時，i1 就是最終的滯後（hòu）階數。

1.3 支持向量回歸機模型

統計學習理論是由VAPNIK[11]建立的一種（zhǒng）專門研究有（yǒu）限樣本情況下機器學習規（guī）律（lǜ）的理（lǐ）論，支持向量機是在這一理論基（jī）礎上發展起來的一種新的分類和回歸工具。支持向量機通過結構風險最小化原理（lǐ）來提高泛化能力，並（bìng）能較好地（dì）解（jiě）決小樣（yàng）本、非線性（xìng）、高維數、局部極小點等實際問（wèn）題，其已在模（mó）式識別、信號處理、函數逼近等領域應用。

引入拉格朗日函數，可得凸二次規劃問題

2 、試驗（yàn）設計

2.1 試（shì）驗方案

本文對Leader way V-450 數控加工中心主（zhǔ）軸z向進行熱誤（wù）差測量試驗（yàn），各傳感器的安放位（wèi）置及作用如表1 所示，溫度傳感器和電（diàn）感測（cè）微儀具體分布位（wèi）置如圖（tú）1 所示。

圖1 熱誤差（chà）測量試驗

表1 傳感器安放位置及作用

試驗對數控加（jiā）工中心在（zài）不同季節(不同環境溫度（dù）)、不同主軸轉速下進行了9 次熱誤（wù）差測量試（shì）驗，測量（liàng）的次數、轉速及環境溫（wēn）度如表2 所示。

表2 試驗（yàn）批次的主軸轉速和環境溫度

表2 中，Knm 含義是，第n 次測量（liàng）的主（zhǔ）軸轉（zhuǎn）速在m 的試驗（yàn）數據。如K12000 表示第一次測量的主軸轉速在2 000 r/min 的試驗數據，K22000 表示不同環境溫度下第二次測量的主軸轉速在2 000 r/min 的試驗數據，K32000 表示不同環境溫（wēn）度（dù）下第三次測量的主軸（zhóu）轉速在2 000 r/min 的試（shì）驗數據。

2.2 溫度敏（mǐn）感點（diǎn）的篩選

為便於（yú）實際（jì）工程應用，針對溫度傳感器數目進行（háng）優化挑選，合理有效地篩選溫度傳感器有助於提高機床熱誤差建模精度。本文采用模糊聚（jù）類與回（huí）歸關聯度相結合的方法選擇熱誤差關鍵（jiàn）敏感點，具體方法（fǎ）參考文獻[15]，最終選擇T6 和T7 作為溫度（dù）敏感點。

3 、建模（mó）模型的穩健性分析

穩健（jiàn）性是指在模型與實際對象存在一定差距時，模型依然具有較滿意的模擬預測性能。本文利用多元線性回歸的最（zuì）小二乘、最小一乘估計模型，分布（bù）滯後模型以及支（zhī）持向（xiàng）量回歸機模（mó）型對（duì）K16000 數據分別建立預測模型（xíng），先進行各模型對本批數據的擬合精（jīng）度進行分析，隨後將該模型用於（yú）其他批次采樣數據的預（yù）測，以判斷模型的穩健（jiàn）性。同時，根據建模數據的來源批次特征，對各算法給予了穩健性分析。

3.1 不同（tóng）算（suàn）法的模型（xíng）擬合精度分析

表3 各模型的擬合標準差 μm

由表3 可知，擬合精度SVR 最優，DL 其次，擬合精度最（zuì）差的是（shì）MLR 最小一乘算法。

圖2 對K16000 擬（nǐ）合效果

為比對各算法穩健性，利用各個模型建立的預測模型對其餘批（pī）次（cì）數據按照同（tóng）轉速不（bú）同溫度（dù）(環境溫度變化範圍較大)、同（tóng）溫度(環境溫度變化較小)不同轉速、不同溫度（dù）(環境（jìng）溫度變化範圍較大)不同轉速三種類型進行數（shù）據預測，根據（jù）預測效果對（duì）各個補償模型進行穩健性分析。

3.2 同轉速不同環境溫度分析

以K16000 數據建立的預測模型對K26000 數（shù）據進（jìn）行預測精度分析，分析效（xiào）果如（rú）圖3 所示；再對K36000數據進行預測精度分（fèn）析（xī），分析效（xiào）果如圖4 所示。各個預測模型的預測標準差如表4 所示。

表4 各模型的預測標準差 μm

圖3 對K26000 預測效果

圖4 對K36000 預測效果

通過分析比較可得，轉速不變（biàn），環境溫度增加較小時，各個預測模型的預測效果（guǒ）仍然保持較好，但是隨著環境溫度增加較大時，多（duō）元線性回歸（guī）的最小二（èr）乘、最小一乘模（mó）型以及（jí）分布滯後模型的預測效果變差，其中多元線性回歸的最小二乘算法相對較好，隨後是最小（xiǎo）一乘模型，預測效果最差的是分布（bù）滯後模型。除此之外，支（zhī）持向量回歸機模型仍能保（bǎo）

持很好的預測精度。

3.3 同（tóng）溫度（dù）不同轉速分析

針對溫度（dù）變化範圍較小的（de）不同轉速測量數據（jù），以K16000 數據建立的預測模型對K14000 和K12000 數據進行預測（cè）精度分析，根據分析數據結果來判斷不同算法建立的模型的穩健性（xìng）。先對K14000 數據進行分析，分析效（xiào）果如圖5 所示；然後分析K12000 數據，分析效果如圖6 所示。各個預測模型的預（yù）測標準差如表5 所示。

表5 各模型的預測標準差 μm

圖5 對K14000 預測效果

圖6 對K12000 預測效果

通過分析比較（jiào）可得，環境溫度基本不變，轉速（sù）逐漸降低時，最（zuì）小二乘和最小一乘模型仍具有一定的預測精度，分布滯後（hòu）模型預（yù）測效果越來越差，而支持向量回歸機（jī）模型始終保持很（hěn）好的預測精度。各算法穩定性優劣依（yī）次為支持向量回歸機模型、最（zuì）小二乘、最小一乘和分布滯後模（mó）型。

3.4 不同溫度不同轉速（sù）分析（xī）

針對環境溫度變化時的不同轉速（sù）測量數據，以K16000 數據建立的預測模型對（duì）K24000、K22000、K34000和K32000 數據進行預測精（jīng）度分析，根據分析數據結（jié）果來判斷不同算法建立的模型的穩（wěn）健性。各個預測模型的預測（cè）標準（zhǔn）差如表6 所示。

表6 各模型的預（yù）測標（biāo）準差 μm

通過分析（xī）比較可得，環境溫度變化幅度較小，轉速逐漸降低時，最小二（èr）乘和支（zhī）持向量回歸機模（mó）型具有很好的預（yù）測（cè）精度，最小（xiǎo）一乘模型的預測精度逐漸降（jiàng）低（dī），分布滯後模型（xíng）預測效果逐漸變差；環境溫（wēn）度變化幅度較大時（shí）(超過10 ℃)，轉速逐漸降（jiàng）低時，隻有支持向量回歸機模型（xíng）仍保持較好（hǎo）的預（yù）測精度，其（qí）他的預測（cè）模型的（de）預測效果很差。各算法穩定（dìng）性優劣依次為支持向（xiàng）量回歸機模型、最小二乘、最小一乘和分布滯後模型。

4 、結論

(1) 通過長期（qī）測量數控機床熱誤差和關鍵敏感點溫度來獲得多（duō）批次的試驗數據，通過（guò）多種模型算法（fǎ）進行了（le）預測建模（mó），從機床主（zhǔ）軸（zhóu）同轉速不（bú）同（tóng）環境溫度、同環境溫度不（bú）同轉速（sù）、不同轉速（sù）不同環境溫度等三種情況對預測模型（xíng）的精度與穩定性進行了分析。

(2) 從試驗（yàn）效果可知，分布滯後模型具有很（hěn）好的擬合精度，但（dàn）以一組采樣數據建立（lì）的分布（bù）滯後模型其穩健性較差。僅以一組采樣數據進行建模，最小一乘模型的穩健性並不優於最小二乘模（mó）型，反（fǎn）而略差（chà）。最（zuì）小一乘法穩健性高於最小（xiǎo）二乘法的（de）說法，是基於對異（yì）常數據處理方麵的優勢，而數控機床熱變（biàn）形（xíng）測量數據中出（chū）現（xiàn）異常數據的概（gài）率很小（xiǎo），使得該

法的優勢並（bìng）未得到體現，而且數控機床熱誤差數據樣本量較大，最小一乘算法複雜，相對於最小二乘（chéng）法，最小（xiǎo）一乘法在數控機床熱誤（wù）差預測建模（mó）中的實際應用效果反而不如（rú）最小二乘法（fǎ）。

(3) 支（zhī）持向量回歸機模型擬合精度高，預測（cè）效果保持（chí）性好，穩健（jiàn）性強，該算法作為數控機床熱誤差補償的建模算法具有工程應用基礎。

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